Application du théorème des accroissements finis

[Estelle8311]

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème avec ce théorème, je sais vraiment pas comment l'appliquer.
Je sais que la formule est f(b) - f(a) = (b-a) f ' (c)
Mais par exemple dans un exercice on me demande de prouver les inégalités suivantes avec une application du théorème des accroissements finis:

Pour tout x > 0 sin x < x

Je ne comprends vraiment pas comment je peux appliquer le théorème sur cette inégalité.
Si quelqu'un peut m'éclairer...
Merci !

[Nightmare]

Salut,

de quelle formule parles-tu? Peux-tu citer exactement le théorème des accroissement finis?

Ensuite, que donne-t-il appliqué au sinus pour a=0 et b=x?

[Estelle8311]

Il m'est donné la formule suivante : f '(c) = f(a) - f(b) / b-a

Il m'est demandé avec application du théorème des accroissements finis de prouver l'inégalité suivante :
pour tout x>0 sinx

[Nightmare]

Tu ne réponds pas à mes questions!

Que dit le théorème des accroissements finis et que donne-t-il appliqué à la fonction sinus avec a=0 et b=x?

[Estelle8311]

Je comprends pas la question alors :

Ca donnerai : sinx - sin0 / x-0 ?

[Nightmare]

Que ne comprends-tu pas dans mes questions?

Premièrement, je te demande de citer le théorème des accroissements finis, que ne comprends-tu pas dans cette question?

Une fois le théorème cité, je te demande de l'appliquer à la fonction sinus pour a=0 et b=x, que ne comprends-tu pas dans cette question?

[Estelle8311]

Si f est continue en tout point d'un intervalle [a,b] (avec ail existe un c appartenant à ]a,b[
f '(c) = f(b)-f(a) / b-a

Sin x - sin 0 / x-0 = sin x / x

[Nightmare]

Si f est continue en tout point d'un intervalle [a,b] (avec a<b) et dérivable en tout point de ]a,b[ alors
il existe un c appartenant à ]a,b[
f '(c) = f(b)-f(a) / b-a

C'est presque ok, n'oublie pas que si tu décides d'écrire tes formules sur une ligne, il y a une histoire priorité des opérations. Si tu écris, f'(c)=f(b)-f(a)/b-a, cela se lit .

Il aurait fallu écrire f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Bref, en dehors de ce petit point syntaxique, je voulais te faire remarquer en te faisant citer le théorème que son point important n'est pas seulement cette égalité f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) mais l'existence de ce point "c" et l'intervalle ]a,b[ dans lequel il gît.

Que donne alors ce théorème appliqué au sinus pour a=0 et b=x?

[Estelle8311]

Je dirais que :
sin x < (sin x)/x < x

[Nightmare]

D'où vient ceci? Et encore une fois, le théorème des accroissements finis, ce n'est pas qu'une formule...

Il faut que tu fasses un effort d'application.

[Estelle8311]

f ' (c) = (sinx)/x
Il existe un réel c strictement compris entre a et b.
a < (sinx)/x < b
0 < (sinx)/x < x

Je comprends vraiment pas où va me mener ce théorème..

[Nightmare]

Ici a=0 et b=x.

Le théorème dit alors que, quel que soit x > 0, il existe un réel c compris entre 0 et x tel que [f(x)-f(0)]=f'(c)*(x-0).

Ici, f(x)=sin(x), donc : f(0)=0 et f'(x)=cos(x).

Ainsi, le théorème nous donne, pour tout x > 0, l'existence d'un réel c dans ]0,x[ tel que sin(x)=cos(c)*x

Maintenant, vois-tu un moyen d'en déduire que pour tout x > 0, sin(x) < x ?

[Estelle8311]

(sin(x))'=cosx
(x)'=1

-1 < cosx < 1

Je vois pas du tout ce que je peux dire avec ce théorème.
Je crois que la fac c'est vraiment pas fait pour moi.

[Nightmare]

En quoi (x)'=1 nous intéresse ici? A quel moment as-tu à dériver x? Je ne comprends pas...

As-tu lu mon dernier message? L'as-tu compris?

[Estelle8311]

J'ai compris le début mais à partir de :

Ainsi, le théorème nous donne, pour tout x > 0, l'existence d'un réel c dans ]0,x[ tel que sin(x)=cos(c)*x
Maintenant, vois-tu un moyen d'en déduire que pour tout x > 0, sin(x) < x ?

Je comprends plus, je vois pas comment à partir du théorème je peux prouver l'inégalité.

[Nightmare]

On sait donc que sin(x)=cos(un certain nombre) * x

Et tu m'as toi même écris que cos(X) est toujours inférieur à 1. Donc?

[Estelle8311]

Je vois pas du tout je dois être bête..

[Nightmare]

cos(un certain nombre) est donc toujours inférieur à 1, non?

Donc cos( un certain nombre) * x est toujours inférieur à ...

[Estelle8311]

toujours inférieur à x
Comme cos(c)*x=sin(x)
sin(x)< x