Application sur Matrice de transvection

[boboyjeff]

Bonjour,
je n'arrive pas à calculer f(A) sachant que f est défini comme suit:

* qq soit A,B appartenant à M(n,n)² , f(AB)=f(A)f(B)
* pour toute matric diagonale A, f(A) est égal au produit des coefficients de la diagonale


On me demande tout d'abord de calculer f(A) pour A matrice de transvection (j'ai montré que son det=1)
Puis f(A) pour A élément quelconque de M(n,n).


Je pense que f(A)=1 si A matrice de transvection
f(A)= det A si A est une matrice quelconque de m(n,n)

Est-ce correct?

[Ben314]

Salut,
Je suppose, vu le cas que tu donne pour les matrices diagonales, qu la fonction f que tu cherche est définie sur M(n,n) et à valeur dans le corps de base qui est R ? , C ? , K quelconque ? (rayer les mentions inutiles)

Tes conjectures me paraissent parfaitement correctes, le problème, c'est de les prouver...

Personellement, je commencerais bien par le super facile : f(Id)=1 donc, si P est inversible f(P) est non nul et f(P^(-1))=1/f(P) puis, si B=P^(-1)AP alors f(B)=f(A).
On en déduit alors que, pour toute matrice diagonalisable A (mais pas forcément diagonale), f(A) est bien égal au déterminant de A.

Reste à montrer que toute matrice est produit de deux matrices diagonalisables, ce qui est vrai en tout cas dans un corps algébriquement clos comme C...

A froid, je ne vois pas comment montrer dés le départ que f(A)=1 si A est une transvection (qui n'est pas diagonalisable). Comment as-tu procédé ?