Application linéaire nulle

[Nicolas59]

J'aimerais discuter de la surjectivité et de l'injectivité de l'application linéaire nulle de E dans E. Je dois m'en servir pour montrer que certaines assertions dans un exercice sont fausses.

[Nicolas59]

En fait,d'après mon prof, si on prend l'application nulle:

_(e1,..., en) libre n'implique pas que u(e1,...,en) soit libre
si on prend u l'application nulle.
Et c'est vrai si u est injective.

_e1,...,en, génératrice de E n'implique pas u(e1,...,en) génératrice de E, si on prend l'application nulle.
Mais c'est vrai si on a u surjective.

Et donc je ne comprends pas trop comment est utilisée l'application nulle.

[Arkhnor]

Bonjour !!

Je ne comprends pas tellement ton problème.
L'application nulle n'est jamais injective, ni surjective, si .
Il suffit de déterminer son noyau et son image pour le voir, si jamais tu as des doutes ...

[Nicolas59]

Pour moi:
Si u est nulle;
, u(x) = 0 pour tout x de E alors le noyau est bien réduit à 0.
Par contre,
F(E)= 0 pas égale à E donc u pas surjective.

[Arkhnor]

u(x) = 0 pour tout x de E alors le noyau est bien réduit à 0.

Revois la définition du noyau.
Ok pour l'image.

[Nicolas59]

Il faut trouver l'ensemble des x pour lequels u(x) = 0.
Mais pour tous les x de E, u(x) =0 , donc ker(u) = E différent de 0 .
Donc u pas injective.
Me trompe-je?

[ffpower]

Là tu ne te trompe pas..Mais dans ton post prècédent tu disais que le noyau était réduit à 0, donc là oui tu te trompais :)