Application linéaire - Matrice

[MacErmite]

Bonsoir,

Je suis complétement perdu sur le domaine d'utilisation des matrices, je mélange R2, R3...
Par exemple si (deux lignes et trois colonnes) est une application dans R3 vers R2 :mur: ? Je n'arrive pas à me représenter cela
Comment savoir si M est injective, ou surjective ?

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci

[girdav]

Salut,
, c'est juste les couples de nombres réels et les triplets du même type de nombres.

Pour savoir si elle est injective regarde le noyau.

[Ben314]

Salut,
Pour donner un petit exemple, la matrice 2x3 représente l'application de dans définie par :
Ensuite, comme le dit girdav, pour savoir si elle est injective et/ou surjective, on commence en général par calculer le noyau, puis on utilise le théorème : dim(noyau)+dim(image)=dim(espace_de_départ)

[MacErmite]

Si j'ai bien compris; la matrice est construite avec 3 vecteurs (3 colonnes) dont les composantes sont des réels. Ce qui est donc une application linéaires dans R3.
Si je multiplie M par ce vecteur u(u1,u2,u3) j'obtiens une matrice :
, soit 2 lignes une colonne. Cela me renvoie vers R2 ? Pourtant je n'ai qu'une colonne, un seul vecteur :doh:

Bon c'est décidé, je jette ce cours du cned et j'achete un livre d'algebre :briques: Il me dira surement ce qu'est le noyau d'une matrice...

[Joker62]

En fait, une application linéaire c'est une fonction assez souple parce qu'on a pas besoin de la connaître entièrement.
Quand tu as une base de R^3 : e1, e2, e3 et x un vecteur de R^3, tu sais que l'on peut exprimer x dans la base en question. On a :

x = a1e1 + a2e2 + a3e3 où les a_i sont des réels

Donc en appliquant l'application linéaire f, on a :
f(x) = a1f(e1) + a2f(e2) + a3f(e3)

Ainsi, on remarque qu'il suffit de connaître f sur les vecteur d'une base. (Fais bien attention qu'on a fixé la base, dans une autre base, on aura des a_i différents)

C'est comme ça qu'on introduit la notion de matrice.

Comment écrire la matrice alors ?
On reprend ton exemple : on fixe (e1, e2, e3) une base de R^3 ( pourquoi 3 vecteurs ? combien de composantes dans les vecteurs ? ) et une base (f1,f2) dans R^2

La matrice aura à la colonne j, les coefficients de f(e_j) dans la base f1,f2
C'est donc une colonne à deux éléments (autrement dit, 2 lignes)
COmme il y a 3 vecteurs e_j, on aura 3 colonnes.

C'est une matrice 2*3

Si on a par exemple :
f(e1) = 2f1 + 3f2
f(e2) = 4f1 + 2f2
f(e3) = 1f1

La matrice sera :
2;4;1
3;2;0

Maintenant, quand tu tester f sur un vecteur quelconque (donc un vecteur de l'espace de départ, donc à 3 composantes) x = (x1, x2, x3) il suffit de multiplier à gauche par la matrice

Tu auras comme résultat une matrice de taille (2*1) c'est à dire, un vecteur colonne à 2 composantes : un vecteur de R^2 ( Tu arrives bien dans ton espace d'arrivée )

[Ben314]

Salut Joker,
Là ou je sais pas trop comment répondre, c'est que je sais pas du tout si MacErmite a vu les E.V., les bases et les applicitions linéaires...

Il y a certains bouquins (ou poly) récents qui font un chapitre complet sur les matrices avant de commencer les E.V.
Au niveau "bourbakiste" ça parrait être un peu con-con, mais au niveau "pédagogique", ça permet de commencer par des trucs purement calculatoire pour se familiariser avant de voir la notion de changement de base... (Une matrice est alors présentée comme représentant une seule application de R^n dans R^m et il n'y a pas de référence aux E.V. ni aux bases)...

Il faudrait que MacErmite précise comment le cours du C.N.E.D. procède...

P.S. Vu que le mot "noyau" ne lui dit rien, je pencherais assez fort vers le chapitre matrice précédant celui sur les E.V...

[Joker62]

C'est vrai que j'me suis un peu borné l'esprit à croire qu'on faisait un cours d'une façon logique (Ahah) et c'est vrai que c'est une bonne remarque que tu fais là.
D'ailleurs il me semble que les "matrices" sont vu en terminale ES sans pour autant parler d'algèbre linéaire.

C'est quand même une façon non délicate d'insérer la notion.

[Ben314]

Cette année, pour la première fois, j'ai enseigné les matrices avant le reste avec la "maquette" suivante :
1) Systèmes de m équations à p inconnues => méthode de Gauss de résolution
2) "Codage" d'un système sous la forme AX=B ou A=matrice, X et B=vecteurs colonne , régle ligne par colonne pour les produits matrice par vecteur (le tout présenté comme... un gain de temps dans l'écriture !!!)
3) Calcul matriciel : somme et produit de matrices.
4) Notion d'inverse d'une matrice carré => méthode de Gauss de calcul de l'inverse ("but" : résoudre plusieurs fois le même système avec des valeurs différentes "à droite")
5) Déterminant d'une matrice carrée (propriétés admises...) permettant de savoir si elle est inversible ou pas et application aux nombre de solutions d'un système carré.

Puis un chapitre sur les E.V. et les bases dans lequel... on n'a même pas introduit les applications linéaires (qui seront faites au second semestre)
On a seulement "joué" avec les matrices de changement de base en revenant trés souvent aux systèmes d'équations.

Pour le moment j'ai l'impression qu'on a "largué" moins d'étudiants que d'habitude avec cette présentation, mais il reste à faire le "point délicat" des applications linéaires et le fait qu'il n'y a pas qu'une seule matrice qui leur est associé...

[alavacommejetepousse]

En fait, une application linéaire c'est une fonction assez souple parce qu'on a pas besoin de la connaître entièrement.

salut joker pour moi c'est juste l'inverse, une al est totalement rigide car parfaitement déterminée par la donnée de quelques images

[Joker62]

J'entendais par "souple" le fait qu'elle est facile à connaître en fait mais c'est vrai que rigide correspond mieux comme lorsqu'on utilise les polynômes et leur régularité/rigidité.

Pour la maquette, je pense que ça dépend vraiment du sens et du but que l'on veut donner à son cours. Voir les matrices comme des objets indépendants pourra causer des soucis de liens quand tu attaqueras ton semestre 2 mais avec ton plan, tu vas gagner en manipulation et en calcul (enfin selon moi et mon expérience d'étudiant)

Quoi que, ça pourrait ne pas être un mauvais fond en réfléchissant.
J'attends de voir ton semestre 2 lol :p

[Ben314]

Pour les "objectifs de formations", chez nous (i.e. dans ma fac), j'ai de plus en plus l'impression que LE objectif c'est d'en larguer le moins possible... [ce qui est tout à fait discutable et d'ailleurs... discuté...]
Aprés, pour le semestre 2... j'intervient pas... donc je me contenterais de critiquer le colègue..., domaine dans lequel, comme la plupart des profs, j'excelle :zen:

[Joker62]

Et si le collègue ne suit pas ton point de vue et qu'il chamboule tout le monde lol :D ?

[Ben314]

Par rapport à il y a quelques années, on se met a avoir un "programme" un peu sérieux (sic) donc le programme du S2 est (heureusement) axé sur le fait qu'ils sont sensés avoir aquis le calcul matriciel.
En plus là ou je déconne complet, c'est que le collègue en question est trés bien : je suis persuadé qu'il essayera de faire aux mieux avec les aquis des élèves (c'est pas du tout le genre, "les prof que vous avez eu vous ont dit que des conneries et on va tout recommencer différement")