Application (exo pour demain)

[Anne33]

Bonjour j'ai cet exercice à faire et je voudrai savoir comment montrer la question 2 et la question 3.
Je vous remercie d'avance.

Soit f l’application de l’intervalle ]0, 1] dans R dé;)nie par:
.f(1/n)= 1/(n+1)pour tout entier naturel non nul n,
.f (x) = x si x n’est pas l’inverse d’un entier naturel.

A;)n d’éviter toute confusion, on utilise ici la notation anglo-saxonne pour l’écriture des nombres
décimaux , avec un point "." plutôt qu’une virgule "," pour séparer parties entière et décimale.

1. Déterminer f (0.1), f (0.2), f (0.3) et f (0.5).
A;)n d’éviter toute confusion, on utilise ici la notation anglo-saxonne pour l’écriture des nombres
décimaux , avec un point "." plutôt qu’une virgule "," pour séparer parties entière et décimale.
2. Montrer que f est injective.
3. Montrer que f]0,1]=]0,1[
.

[aymanemaysae]

Pour la question 2, et pour simplifier l'écriture, vous pouvez poser : A={ tel que n IN*},
et étudier l'injectivité par séparation des cas:
1) u A et v A
2) u ]0,1]\A et v ]0,1]\A
3) Pour le cas u A et v ]0,1]\A et vice versa , écrire f(u) = f(v) est impossible
car pour le cas u A et v ]0,1]\A , il existe s IN* tel que u =
et donc f(u) = f(v) f( ) = v = v : contradiction .

[chan79]

Pour la question 2, et pour simplifier l'écriture, vous pouvez poser : A={ tel que n IN*},
et étudier l'injectivité par séparation des cas:
1) u A et v A
2) u ]0,1]\A et v ]0,1]\A
3) Pour le cas u A et v ]0,1]\A et vice versa , écrire f(u) = f(v) est impossible
car pour le cas u A et v ]0,1]\A , il existe s IN* tel que u =
et donc f(u) = f(v) f( ) = v = v : contradiction .

salut
Avec les notations ci-dessus, on peut remarquer que:
f(A)=A
f(]0;1]\A)=]0;1]\A

la restriction de f à A est bijective
la restriction de f à ]0;1]\A est ]0;1]\A

Si on pose f(0)=0, f est continue en 0.

[chan79]

avec les notations ci-dessus, on peut vérifier:
la restriction de f à A est une bijection de A dans A-{1}
la restriction de f à ]0;1]-A est une bijection de ]0;1]-A dans ]0;1]-A
f est bijective de ]0,1] dans ]0;1[
si on prolonge f en posant f(0)=0, f est continue en 0.