Bonjour, je voudrais avoir un éclairecissement sur les notions d'applications, d'ensemble et de cardinal.
Voici un exercice que j'ai a faire. Montrer que |FE| = |F||E|.
J'ai déja du mal à définir les termes.
|FE| ==> le cardinal de l'ensemble des applications de E vers F, juste ?
|F||E| ==> je ne vois pas ce que cela veut dire.
Merci de m'aider.
Application et cardinal
20 messages
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par fatal_error » 27 Nov 2009, 13:39
salut,
normalement, E et F sont des ensembles.
en gros tu fais une patate.
Tu l'appele E.
Dans ta patate, tu fous des elements.
Ta patate c'est un ensemble.
Le cardinal de cet ensemble, noté |E|, c'est le nombre d'éléments que t'as foutu dedans.
L'application, elle a besoin d'un ensemble de départ et d'un ensemble d'arrivée.
Ex : elle prend un élément de E, et lui associe un élément qui est présent dans F.
Pour les def plus précise, ya wiki par exemple.
ici, le cardinal |EF|, c'est compter le nombre de couples que tu peux former en prenant un element de E et un element de F.
normalement, E et F sont des ensembles.
en gros tu fais une patate.
Tu l'appele E.
Dans ta patate, tu fous des elements.
Ta patate c'est un ensemble.
Le cardinal de cet ensemble, noté |E|, c'est le nombre d'éléments que t'as foutu dedans.
L'application, elle a besoin d'un ensemble de départ et d'un ensemble d'arrivée.
Ex : elle prend un élément de E, et lui associe un élément qui est présent dans F.
Pour les def plus précise, ya wiki par exemple.
ici, le cardinal |EF|, c'est compter le nombre de couples que tu peux former en prenant un element de E et un element de F.
la vie est une fête 
par Ben314 » 27 Nov 2009, 13:40
Bonjour,
La façon dont je comprend les notations :
F = ensemble quelconque
|F| = cardinal de F (un entier si F est fini)
EF = produit des ensembles E et F, c'est à dire ensemble des couples (x,y) avec x dans E et y dans F.
|E||F| = produit du cardinal de E avec celui de F (i.e. un entier si E et F sont finis)
rajout : brulé par fatal_error.... (salut fatal_error)
La façon dont je comprend les notations :
F = ensemble quelconque
|F| = cardinal de F (un entier si F est fini)
EF = produit des ensembles E et F, c'est à dire ensemble des couples (x,y) avec x dans E et y dans F.
|E||F| = produit du cardinal de E avec celui de F (i.e. un entier si E et F sont finis)
rajout : brulé par fatal_error.... (salut fatal_error)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 13:48
Désolé mais pas facile les notations mathématiques sur un forum.
Je note FE = { f: E -> F | f est une application }. L'ensemble des applications de E vers F, donc ce n'est pas un produit que j'ai voulu représenter.
Je note FE = { f: E -> F | f est une application }. L'ensemble des applications de E vers F, donc ce n'est pas un produit que j'ai voulu représenter.
par Ben314 » 27 Nov 2009, 13:55
En général, l'ensemble des applications de F dans E se note 
, si tu ne connais pas le latex, ecrit F^E, tout le monde comprendra.
Dans ce cas, la formule à démontrer est (évidement)
et il te suffit (???) de réfléchir à comment tu t'y prendrait pour compter le nombre d'application possibles de F dans E de F dans E...
je te laisse chercher...
Dans ce cas, la formule à démontrer est (évidement)
et il te suffit (???) de réfléchir à comment tu t'y prendrait pour compter le nombre d'application possibles de F dans E de F dans E...
je te laisse chercher...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 14:30
Vu que l'on parle d'application donc quelque soit x appartient à F on a un unique y appartenant à E, tel que y = f(x).
Donc il suffit de compter le nombre d'élément de F, non ?
Donc il suffit de compter le nombre d'élément de F, non ?
par Ben314 » 27 Nov 2009, 15:01
Pas vraiment...
Essaye de voir sur un petit exemple : si E={1,2} et F={3,4,5}, combien y a t'il d'applications de F dans E ? pour t'aider, en voici quelques unes :
première application : on prend f(3)=1, f(4)=1, f(5)=1
deuxième application: on prend f(3)=1, f(4)=1, f(5)=2
troisiéme application : on prend f(3)=1, f(4)=2, f(5)=1
.
.
.
A mon avis ne cherche pas à toutes le écrire, mais seulement à voir combien il y en a.
Essaye de voir sur un petit exemple : si E={1,2} et F={3,4,5}, combien y a t'il d'applications de F dans E ? pour t'aider, en voici quelques unes :
première application : on prend f(3)=1, f(4)=1, f(5)=1
deuxième application: on prend f(3)=1, f(4)=1, f(5)=2
troisiéme application : on prend f(3)=1, f(4)=2, f(5)=1
.
.
.
A mon avis ne cherche pas à toutes le écrire, mais seulement à voir combien il y en a.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 15:32
Tes exemples m'ont déja permit de comprendre la notion d'ensemble d'applications par rapport celle d'application tout court. C'est déja ça car tout me semble trés flou malgré des théorèmes et des définitions qui paraissent simple s a première lecture.
Sinon pour te donner le nombres d'applications je ne vois pas. Ca ressemble au produit cartesien des 2 ensembles puis diviser le nombre de couples obtenu par 3. C'est le mieux que je puisse te dire, désolé je suis une daube en math :cry:
Je dois avoir un niveau 3eme, et la je dois apprendre la théorie des ensemble. Autant te dire que je suis mal parti.
Sinon pour te donner le nombres d'applications je ne vois pas. Ca ressemble au produit cartesien des 2 ensembles puis diviser le nombre de couples obtenu par 3. C'est le mieux que je puisse te dire, désolé je suis une daube en math :cry:
Je dois avoir un niveau 3eme, et la je dois apprendre la théorie des ensemble. Autant te dire que je suis mal parti.
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 16:26
Plus personne ? Ben314 tu m'as abandonné ?
Que veut dire |F|^|E| ? Ca fait un mois que j'essaye de comprendre !
Que veut dire |F|^|E| ? Ca fait un mois que j'essaye de comprendre !
par fatal_error » 27 Nov 2009, 16:40
re ( et salut différé pour ben314),
ben j'insiste |E| c'est le card de E.
Pour revenir a |E^F|,
Tu n'as qu'à prendre un petit exemple, vu qu'en plus t'as intuité le prod cartésien
Si dans F tu prends (1,2,3), et dans E(a,b,c)
Tu as
f_1(1)=a, f_2(2)=a, f_1(3)=a
f_2(1)=a,f_2(2)=a,f_2(3)=b
f_2(1)=a,f_2(2)=a,f_2(3)=c
etc...
cad lorsque tu fixes un élem de F, tu as trois choix pour l'image associée par f. Comme tu fais pour tous les elem de F, ben tu fais un produit. ( un peu comme le dénombrement en proba ).
ben j'insiste |E| c'est le card de E.
Pour revenir a |E^F|,
Tu n'as qu'à prendre un petit exemple, vu qu'en plus t'as intuité le prod cartésien
Si dans F tu prends (1,2,3), et dans E(a,b,c)
Tu as
f_1(1)=a, f_2(2)=a, f_1(3)=a
f_2(1)=a,f_2(2)=a,f_2(3)=b
f_2(1)=a,f_2(2)=a,f_2(3)=c
etc...
cad lorsque tu fixes un élem de F, tu as trois choix pour l'image associée par f. Comme tu fais pour tous les elem de F, ben tu fais un produit. ( un peu comme le dénombrement en proba ).
la vie est une fête
par Ben314 » 27 Nov 2009, 16:44
non, ch'uis là, mais je bosse en même temps....
|E|^|F| veut dire "le cardinal de E à la puissance le cardinal de F".
Dans l'exemple que je t'ai donné, |E|=2 et |F|=3 donc |E|^|F|=2^3=2.2.2=8
Donc, si la formule est juste (et c'est le cas), il doit y avoir 8 applications de F dans E.
Essayse de voir pourquoi il y a 2 fois 2 fois 2 applications de F dans E...
|E|^|F| veut dire "le cardinal de E à la puissance le cardinal de F".
Dans l'exemple que je t'ai donné, |E|=2 et |F|=3 donc |E|^|F|=2^3=2.2.2=8
Donc, si la formule est juste (et c'est le cas), il doit y avoir 8 applications de F dans E.
Essayse de voir pourquoi il y a 2 fois 2 fois 2 applications de F dans E...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 17:23
Tu veux dire que 
est "le cardinal de E à la puissance le cardinal de F" ?
Désolé je reprend en latex cette fois ce sera plus clair pour les formules.
Désolé je reprend en latex cette fois ce sera plus clair pour les formules.
par Ben314 » 27 Nov 2009, 17:27
tout à fait.
P.S. fait attention, dans mes posts, une fois sur 2 je raisonne avec E^F et une fois sur 2 avec F^E....
P.S. fait attention, dans mes posts, une fois sur 2 je raisonne avec E^F et une fois sur 2 avec F^E....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 17:40
Oui j'avais vu que tu résonnais une fois sur 
et une fois sur . Merci de préciser quand même ça m'a légèrement perturbé au départ.
Donc cela m'étonne que soit le cardinal de E à la puissance le cardinal de F, puisque 
est le cardinal de l'ensemble des applications de F vers E. On parle donc d'ensemble d'applications d'un ensemble vers un autre dans un cas et d'une puissance dans l'autre cas. Ceci est perturbant. Enfin si tu me le dis.
Donc la façon de démontrer que
est de dénombrer le nombre d'applications en prenant un exemple concret ?
N'y a-t-il pas une autre façon de faire disons de manière plus générale, en utilisant les théorèmes des ensembles ? Comme par exemple en utilisant le théorème de la bijection (injections et surjections) ?
Donc cela m'étonne que
Donc la façon de démontrer que
N'y a-t-il pas une autre façon de faire disons de manière plus générale, en utilisant les théorèmes des ensembles ? Comme par exemple en utilisant le théorème de la bijection (injections et surjections) ?
par Ben314 » 27 Nov 2009, 17:56
En ce qui concerne le "coté perturbant de |E^F|=|E|^|F|", personelement, j'ai toujours eu l'impression que c'est cette formule qui expliquait en grande partie le fait que l'on note E^F l'ensemble des applications de F dans E.
Pour ce qui est de la preuve de cette formule, il ne faut (bien sur) pas uniquement traiter un exemple comme celui que je t'ai donné, mais bien le cas général. Réfléchir sur un exemple sert souvent à mieux comprendre comment cela ce passe dans le cas général.
Bon, je te file un (dernier ?) coup de pousse :
Si on appelle m le cardinal de F, on peut écrire F={x_1,x_2,...,x_m}.
Pour définir une application de F dans E, il faut choisir la valeur que l'on va donner à f(x_1) [combien de possibilités y-a-t-il ?] puis choisir la valeur que l'on donne à f(x_2) [même question] etc etc.
P.S. j'ai beau réfléchir, je ne vois pas trop de quel théorème on a besoin ici....
Pour ce qui est de la preuve de cette formule, il ne faut (bien sur) pas uniquement traiter un exemple comme celui que je t'ai donné, mais bien le cas général. Réfléchir sur un exemple sert souvent à mieux comprendre comment cela ce passe dans le cas général.
Bon, je te file un (dernier ?) coup de pousse :
Si on appelle m le cardinal de F, on peut écrire F={x_1,x_2,...,x_m}.
Pour définir une application de F dans E, il faut choisir la valeur que l'on va donner à f(x_1) [combien de possibilités y-a-t-il ?] puis choisir la valeur que l'on donne à f(x_2) [même question] etc etc.
P.S. j'ai beau réfléchir, je ne vois pas trop de quel théorème on a besoin ici....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 18:02
Ok, je te remercie pour ces explications, je vais essayer de terminer par moi même.
Pour les théorèmes c'est juste que travailler avec les ensembles c'est comme se retrouver au milieu de l'océan, on ne voit pas de point de départ ni d'arrivé, enfin c'est mon sentiment. Va falloir apprendre à nager.
Merci.
Pour les théorèmes c'est juste que travailler avec les ensembles c'est comme se retrouver au milieu de l'océan, on ne voit pas de point de départ ni d'arrivé, enfin c'est mon sentiment. Va falloir apprendre à nager.
Merci.
par beagle » 27 Nov 2009, 18:48
pas d'originalité à apporter par rapport aux pointures qui t'ont répondu.
Ton soucis actuel n'est pas un soucis de théorie des ensembles,
mais c'est un soucis de dénombrement,
c'est combinaison, arrangements, and co
La meilleure visualisation dans le cas présent,
(enfin pour moi),
c'est de faire comme il t'a été dit,
mais avec un arbre,
donc je reprends ensemble E de cardinal k, et ensemble F de cardinal n
le premier élément de E
k1 envoie n branches (j'ai n choix possibles)
de chacune de ces branches va partir un choix possible pour k2, cela va faire encore n branches,
on n'a pris pour le moment que deux éléments de E, et c'est nxn, n puissance2 branches
aux branches de k2 partent les branches k3, avec encore n branches,
on est avec trois éléménts de E à nxnxn, n puissance 3
aux branches de kk (si j'ose dire), on aurait fait:nxnxnx.....xn k fois,
on sera à n puissance k
donc à cardinal de F puissance cardinal de E
fait le dessin avec des branches sur divers exemples, je trouve cela plus facile ,...
Ton soucis actuel n'est pas un soucis de théorie des ensembles,
mais c'est un soucis de dénombrement,
c'est combinaison, arrangements, and co
La meilleure visualisation dans le cas présent,
(enfin pour moi),
c'est de faire comme il t'a été dit,
mais avec un arbre,
donc je reprends ensemble E de cardinal k, et ensemble F de cardinal n
le premier élément de E
k1 envoie n branches (j'ai n choix possibles)
de chacune de ces branches va partir un choix possible pour k2, cela va faire encore n branches,
on n'a pris pour le moment que deux éléments de E, et c'est nxn, n puissance2 branches
aux branches de k2 partent les branches k3, avec encore n branches,
on est avec trois éléménts de E à nxnxn, n puissance 3
aux branches de kk (si j'ose dire), on aurait fait:nxnxnx.....xn k fois,
on sera à n puissance k
donc à cardinal de F puissance cardinal de E
fait le dessin avec des branches sur divers exemples, je trouve cela plus facile ,...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par wotan2009 » 27 Nov 2009, 19:13
Je te remercie pour ces précisions, je crois que mon problème c'est surtout mon lointain "background" en math :) et la difficulté de s'y remettre. Sinon les analyses combinatoires font l'objet d'un cours juste aprés celui des ensembles, j'y ai jeté un oeil, mais j'essaye de prendre les choses dans l'ordre du prof.
J'essayerai de reprendre l'exo en faisant un arbre cela peut aider effectivement.
Merci a vous.
A+
J'essayerai de reprendre l'exo en faisant un arbre cela peut aider effectivement.
Merci a vous.
A+
par Ben314 » 27 Nov 2009, 20:12
Une dernière remarque, wotan2009, la preuve que tu as à faire ici ne doit comporter à mon sens qu'une dixaine de ligne et quasiment aucun calculs... C'est simplement du raisonnement, pas vraiment du calcul.
L'idée de beagle de faire un arbre est trés bonne aussi cela peut te permettre de comprendre pourquoi on "multiplie" certaines quantitées...
Ce n'est pas du tout une "autre méthode" mais simplement une façon de représenter le résultat (et peut être de mieux comprendre d'où il vient)
L'idée de beagle de faire un arbre est trés bonne aussi cela peut te permettre de comprendre pourquoi on "multiplie" certaines quantitées...
Ce n'est pas du tout une "autre méthode" mais simplement une façon de représenter le résultat (et peut être de mieux comprendre d'où il vient)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par beagle » 27 Nov 2009, 22:20
tu peux aussi representer cela d'abord dans un carré puis un cube, puis la dimension4, etc...
pour les possibilités de k1 et k2,
tu fais un carré, axe horizontal des x, représente les n possibilités pour k1, axe des y les n possibilites pour k2,
chaque case du carré représente un des couples possibles de (k1,k2)
il y a nxn cases possibles, n puissance 2 quand k2
pour k3 tu passes dans l'espace et le cube, il faut un axe z avec n possibilités pour k3,
les petits cubes représentent tous les (k1,k2,k3), il y a nxnxn petits cubes, n puissances 3 quand k3
etc..., nxnxnx...xn , n multiplié k fois, donc n puissance k
pour les possibilités de k1 et k2,
tu fais un carré, axe horizontal des x, représente les n possibilités pour k1, axe des y les n possibilites pour k2,
chaque case du carré représente un des couples possibles de (k1,k2)
il y a nxn cases possibles, n puissance 2 quand k2
pour k3 tu passes dans l'espace et le cube, il faut un axe z avec n possibilités pour k3,
les petits cubes représentent tous les (k1,k2,k3), il y a nxnxn petits cubes, n puissances 3 quand k3
etc..., nxnxnx...xn , n multiplié k fois, donc n puissance k
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
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