Application bijective

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit , et :



1/ Conditions pour que soit injective, surjective.
On pourra commencer par étudier des cas particuliers comme : et puis et
Pour et , je trouve et l'application est clairement injective.
Pour et , je trouve et l'application est clairement injective. Elle n'est pas surjective car n'a pas d'antécédent par . Par l'absurde, s'il en avait, on aurait : et soit ce qui est absurde.

Mais après je ne vois pas trop comment continuer

2/ Lorsque est bijective, déterminer

[GaBuZoMeu]

Pour et , l'application est non seulement injective, mais aussi bijective.

[mehdi-128]

D'accord merci.

Pour et on a :
Montrons que est surjective.
Soit . On peut écrire : avec et .
Il faut résoudre : . On a immédiatement : . L'antécédent est même unique.

Par contre, je ne vois pas comment trouver la condition pour que soit injective

[mehdi-128]

Je pense avoir trouvé la condition :

est injective si et seulement si

Supposons que est injective.
donc .

Supposons que .
Soient et tels que : .
et

Comme :

Par distributivité :

D'où car

Soit : d'où l'injectivité.

Je réfléchis à la surjectivité

[mehdi-128]

Je bloque pour la surjectivité.