Voila ma question, je suis dans la notion de C1 difféomorphisme. On peut donc en particulier pour une application f:U->V montrer que le jacobien est non nul et qu'on a une bijection de classe C1 de U dans V par exemple.
Si je prends l'application f:(x,y) -> (x+y,x-y) définie de R2 dans R2
On montre facilement que le jacobien est non nul.
Pour la bijectivité par contre: en prouvant uniquement la surjectivité par ex, étant en dimension finie (=2) on a bien l'équivalence entre injection/surjection/bijection et donc cela suffirait...
Voila je pense que je fais une confusion avec R2 en tant qu'espace vectoriel alors qu'ici ce n'est pas le cas non ? Pourtant on m'a dit que cette application était un endormorphisme de R2... est-ce correct ?
Car si je considère l'application qui a x associe x^2 par exemple de R dans R+ elle est bien surjective et si j'écoute mon raisonnement comme R est de dimension finie (=1) cette application serait bijective ...
Mais les deux cas peuvent peut être ne pas être comparés étant donné que dans ce dernier cas l'application qui a x fait correspondre son carré n'est pas un morphisme...
Enfin, un dernier exemple: si on considère une fonction f de R dans R tels que pour tout x réel |f'(x)| est majorée par une constante k, 0
Conclusion? en fait un difféomorphisme n'est pas forcément un morphisme et quand il s'agit de montrer la bijectivité on a 2 cas : si on a un morphisme en dimension finie l'injectivité seule ou la surjectivité seule suffit... sinon si ce n'est pas un morphisme, il faut montrer que l'application est bijective. Voila qui résume mon problème..
Merci, beaucoup de questions.. en espérant avoir été assez clair...