Application bijective

[maths0805]

Bonjour, j'ai fait tout un exercice sauf la dernière question où j'ai besoin d'aide donc je vais vous résumer le début

J'ai étudié les deux fonctions ch(x) et sh(x) dans la première partie.

Deuxième partie : On a l'ensemble H des pts M (x,y) ∈ [1; +infini[ x [0;+infini[ qui vérifient x²-y² = 1

1. J'ai déterminé que si M ∈ H, y = sqrt(x²-1)

2. J'ai étudié la fonction h(x) = sqrt(x²+1)

3. Ф : θ ∈ [0;+infini[  → (ch(θ),sh(θ))
a) J'ai vérifié que Ф est bien à valeurs dans H
b) (là ou je n'y arrive pas) Je dois montrer que Ф est une application bijective de [0;+infini[ sur H et on me précise que ce n'est pas une fonction à valeur réelle mais une fonction vectorielle et qu'il faut revenir a la définition d'une application bijective pour prouver l'existence et l'unicité d'un antécédent.
En fait cela me bloque car en général pour prouver cela je montre la continuité et la stricte monotonie et je ne vois pas quoi faire avec une "fonction vectorielle"

Merci d'avance !

[LB2]

Bonjour,

c'est pas x^2-y^2=1 plutôt?

et pour la bijectivité : les arguments que tu invoques (continuité + stricte monotonie) sont pertinents dans le cadre d'une fonction à valeur réelle.
En général, il faut revenir à la définition d'une fonction bijective, c'est à dire :

- tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au moins une fois (surjectivité)
- tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au plus une fois (injectivité).

L'injectivité peut aussi s'écrire : si f(x)=f(x'), alors x=x' (la fonction ne passe jamais deux fois par la même valeur)

[maths0805]

Oui en effet je vais modifier cela !
D'accord je vois mais en fait je crois que je fais plus un blocage sur le fait que ce soit une fonction vectorielle, je ne vois pas comment étudier cela..

Bonjour,

c'est pas x^2-y^2=1 plutôt?

et pour la bijectivité : les arguments que tu invoques (continuité + stricte monotonie) sont pertinents dans le cadre d'une fonction à valeur réelle.
En général, il faut revenir à la définition d'une fonction bijective, c'est à dire :

- tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au moins une fois (surjectivité)
- tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au plus une fois (injectivité).

L'injectivité peut aussi s'écrire : si f(x)=f(x'), alors x=x' (la fonction ne passe jamais deux fois par la même valeur)

[LB2]

quel est l'ensemble de départ? quel est l'ensemble d'arrivée?

Ensuite montre séparément l'injectivité et la surjectivité

[maths0805]

D'accord je vais essayer merci

[Ben314]

Salut,

Ensuite montre séparément l'injectivité et la surjectivité

Je suis vraiment pas convaincu que ce soit bien pertinent dans un cas pareil de procéder "en deux temps" (*) vu que lorsque tu montre la surjectivité, avec quasiment rien du tout en plus (comme argument), tu montre non seulement l'existence d'un antécédent, mais aussi son unicité.

(*) à part éventuellement pour la "pédagogie", mais, même là, j'ai des doutes : c'est quand même on ne peut plus "pas con" de comprendre dés le départ que bijectif, ça se traduit non seulement par injectif + surjectif, mais aussi (voire surtout) par l'existence d'un unique antécédent pour tout élément de l'ensemble d'arrivé.

[maths0805]

Je dois donc juste montrer qu'il existe au moins un antécédent ?
Je suis désolée c'est peu être "con" mais je n'avais jamais eu les termes d'injectivité et de surjectivite dans mon cours donc tout n'est pas clair.

Salut,

Ensuite montre séparément l'injectivité et la surjectivité

Je suis vraiment pas convaincu que ce soit bien pertinent dans un cas pareil de procéder "en deux temps" (*) vu que lorsque tu montre la surjectivité, avec quasiment rien du tout en plus (comme argument), tu montre non seulement l'existence d'un antécédent, mais aussi son unicité.

(*) à part éventuellement pour la "pédagogie", mais, même là, j'ai des doutes : c'est quand même on ne peut plus "pas con" de comprendre dés le départ que bijectif, ça se traduit non seulement par injectif + surjectif, mais aussi (voire surtout) par l'existence d'un unique antécédent pour tout élément de l'ensemble d'arrivé.

[Ben314]

Je dois donc juste montrer qu'il existe au moins un antécédent ?
Je suis désolée c'est peu être "con" mais je n'avais jamais eu les termes d'injectivité et de surjectivite dans mon cours donc tout n'est pas clair.

Dans ce cas là, ben ça veut évidement dire que tu doit pas passer par "injectif + surjectif" pour démontrer la bijectivité, mais par ce qui est sans doute la définition que donne ton cours :
Une application f:X->Y est dite bijective lorsque, pour tout y de Y, il existe un unique x de X tel que f(x)=y.

Et si ça t'interesse (pour ta culture), les définitions qu'il te manque c'est :
Une application f:X->Y est dite surjective lorsque, pour tout y de Y, il existe au moins un x de X tel que f(x)=y.
Une application f:X->Y est dite injective lorsque, pour tout y de Y, il existe au plus un x de X tel que f(x)=y.
Ce qui fait que, évidement, bijectif = injectif + surjectif

[LB2]

Salut,

Ensuite montre séparément l'injectivité et la surjectivité

Je suis vraiment pas convaincu que ce soit bien pertinent dans un cas pareil de procéder "en deux temps" (*) vu que lorsque tu montre la surjectivité, avec quasiment rien du tout en plus (comme argument), tu montre non seulement l'existence d'un antécédent, mais aussi son unicité.

(*) à part éventuellement pour la "pédagogie", mais, même là, j'ai des doutes : c'est quand même on ne peut plus "pas con" de comprendre dés le départ que bijectif, ça se traduit non seulement par injectif + surjectif, mais aussi (voire surtout) par l'existence d'un unique antécédent pour tout élément de l'ensemble d'arrivé.

oui je suis d'accord avec toi, je voulais juste bien faire comprendre que bijectif n'est pas synonyme de "continu strictement monotone"

[maths0805]

Oui mais le problème que je rencontre comme je l'ai dit c'est que je ne vois pas comment faire vu que c'est une "fonction vectorielle"

Je dois donc juste montrer qu'il existe au moins un antécédent ?
Je suis désolée c'est peu être "con" mais je n'avais jamais eu les termes d'injectivité et de surjectivite dans mon cours donc tout n'est pas clair.

Dans ce cas là, ben ça veut évidement dire que tu doit pas passer par "injectif + surjectif" pour démontrer la bijectivité, mais par ce qui est sans doute la définition que donne ton cours :
Une application f:X->Y est dite bijective lorsque, pour tout y de Y, il existe un unique x de X tel que f(x)=y.

Et si ça t'interesse (pour ta culture), les définitions qu'il te manque c'est :
Une application f:X->Y est dite surjective lorsque, pour tout y de Y, il existe au moins un x de X tel que f(x)=y.
Une application f:X->Y est dite injective lorsque, pour tout y de Y, il existe au plus un x de X tel que f(x)=y.
Ce qui fait que, évidement, bijectif = injectif + surjectif

[Ben314]

Ben faut évidement commence par écrire ce que dit la définition générale de "bijective" :
Une application f:X->Y est dite bijective lorsque, pour tout y de Y, il existe un unique x de X tel que f(x)=y
dans le contexte particulier de l'exercice qui est

... Ф est une application bijective de [0;+infini[ sur H... (à démontrer)
... H est l'ensemble des pts M (x,y) ∈ [1; +infini[ x [0;+infini[ qui vérifient x²-y² = 1
Ф : θ ∈ [0;+infini[ → Ф(θ)=(ch(θ),sh(θ)) (et tu as déjà démontré que cet élément est bien dans H)

Donc ce que tu doit montrer, c'est que, quelque soient et tels que , il existe un unique (dépendant bien sûr de x et de y) tel que , c'est à dire tel que et .
Et vu les fonctions que tu as déjà étudié dans l'exo, c'est quasi immédiat.