Antécédants matrice

[yagami]

Bonjour,



J'ai eassayer de faire l'exercice mais je n'y arrive pas.

Je ne comprend pas comment déduire tous les antécédants de Z.




Soit la matrice A =

Déterminer l'image du vecteur Y=.En déduire tous les antécédants de Z=.

Déterminons l'image du vecteur Y.

.===

Donc l'image de est

Déterminons l'ensemble des antécédants de Z.



L2->L2-L1
L3->L3-2L1


L3->L3-L2


L2->L2*4


L2->L2+L1


L1->L1*1/2


donc D={(-z+2,-z-1,z)R^3 | zR}


ce système admet tous les couples (-z +2; -1-z ; z) ou z décrit l'ensemble des réels.
Autrement dit le vecteur (-4 ; 0 ; -4) admet une infinité d'antécédents.
L'ensemble des antécédents de (-4 ; 0 ; -4) forme un ensemble de dimension 1 puisque les éléments de cet ensemble ne dépendent que d'un seul paramètre z.

[aviateur]

Bonjour, ton travail semble correct mis à part 2 détails.
D'abord il doit y avoir une petite erreur de calcul , il me semble que la deuxième composante de ta solution est z-1 et non pas -z-1.
Ensuite quand tu dis que l'ensemble des solutions est un ensemble de dim1, on a l'impression que tu ne sais pas très bien qu'il s'agit d'un espace affine. Ce qu'il faut préciser.
Sinon il faut voir l'ensemble comme cela: En fait la question revient à résoudre le système
AX=Z (1)
Mais on connait une solution particulière Y, qui vérifie donc AY=Z.
(1) est donc équivalent à AX=AY ou encore A(X-Y)=0 ou encore à (X-Y) appartient à Ker(A).
Autrement dit l'ensemble des sol. D est ègal à
Maintenant Ker(A) est ici un espace vectoriel de dim 1. Si tu calcules un vecteur de base disons , un élément X est dans D ssi il est de la forme et tu devrais . retrouver quasiment ton résultat sauf que le paramètre n'est pas forcément le m^me.

[yagami]

Oh j'ai compris merci.

[aviateur]

Ok