Anneau

par **barbu23** » 09 Déc 2009, 12:53

Bonjour : :happy3:
Je fais une petite revision de mes cours d'algèbre :

Détérminer les idéaux des extensions d'anneaux suivants par rapport à

:

et,

?

Determiner l'annulateur et le sous module de torsion des extensions de la première question !
Je ne sais pas repondre à ces deux questions !
Merci d'avance ! :happy3:

par **yos** » 09 Déc 2009, 13:23

Salut.
1) Que sais-tu sur Z[i]? En général, un des premiers trucs qu'on montre sur cet anneau est qu'il est euclidien (avec un petit quadrillage en dessin). Du coup il est ... et ses idéaux sont...

par **barbu23** » 09 Déc 2009, 19:24

Oui, "yos", il est Euclidien, donc principal donc, les ideaux de l'anneau sont principaux :

Mais je bute encore pour la seconde ! :happy3:
Merci de votre aide ! :happy3:

par **barbu23** » 10 Déc 2009, 13:19

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 10 Déc 2009, 19:08

Alors ? personne ne peut repondre ? :happy3:
J'ai trouvé comme idéal l'ensemble :

! Est ce le seul ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Doraki** » 10 Déc 2009, 19:42

Euh,

, donc il est dans ton idéal et par conséquent ton idéal c'est A tout entier.
Il y a plein d'autres idéaux.

par **barbu23** » 10 Déc 2009, 20:12

Oui, d'accord, c'est vrai ! merci ! comment trouver tous ces idéaux "Doraki" quelle est simplement la demarche, je ferai la suite moi même ! Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 10 Déc 2009, 21:36

up up up ! pour voir si quelqu'un a une reponse ! Merci ! :happy3:

par **yos** » 10 Déc 2009, 23:34

Les sous-anneaux

et

ont des idéaux qu'on peut "étendre" à l'anneau

(idéaux engendrés par) mais ce procédé m'a pas l'air fécond : les sous-anneaux en questions sont principaux et donc les idéaux engendrés le sont aussi. La question est de savoir s'il y a des idéaux non principaux. Je vais essayer d'y songer.

par **barbu23** » 11 Déc 2009, 12:21

Oui, mais concrètement, c'est pas très clair pour moi ce que tu dis yos ! tu peux detailler un peu plus stp ?
MErci d'avance ! :happy3:

par **Doraki** » 11 Déc 2009, 16:24

Déjà, on connaît tout un tas d'idéaux, ce sont les idéaux principaux (x) engendrés par un élément x de l'anneau.

Une première question est, si x et y sont dans A, à quelle condition est-ce que (x) = (y) ?

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 16:31

Doraki, je me demande si c'est pas déjà super dûr comme question vu que, ne serait ce que dans

, la détermination "complète" des inversibles passe pas la résulotion de l'équation de Pell-Fermat et par les fractions continuées....

Je me demandais si on ne pouvait pas reconstituer un idéal de A en connaissant sa trace sur

,

et

.
Le problème c'est que je ne sais pas si le troisième est principal...

Si oui, ça risque de permettre de dire que tout idéal de A est engendré par au plus trois éléments....

donc je (re)pose la question : qui sait si

. est principal ?

par **Doraki** » 11 Déc 2009, 16:41

Bah j'y peux rien si sa question est super dure.

Et puis via la norme on a quand même une première caractérisation des inversibles dans l'anneau.

Ensuite, connaître tous les idéaux de Z[truc], c'est vrai que c'est plus dur :/

Pour la principalité de

je dirais à priori que non mais j'ai pas d'exemple.

par **yos** » 11 Déc 2009, 17:28

Ben314 a écrit:qui sait si . est principal ?

L'idéal

a pas l'air principal.
Par contre, celui de

qu'il engendre peut très bien être principal.

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 18:50

yos a écrit:L'idéal a pas l'air principal.

???

???
Je pense que tu voulais (évidement) dire

P.S. (un bon quart d'heure aprés) même pas car

:

et

.... (à suivre)

P.S.2 je vais chercher sur internet. je sais qu'il y a encore des conjectures sur les anneaux quadratiques réels mais je sais plus.... ce qu'on sait et ce qu'on sait pas !!!!

par **yos** » 11 Déc 2009, 19:36

Ah oui, c'est nul mon exemple.

par **yos** » 12 Déc 2009, 08:05

D'ailleurs

est euclidien pour la norme (en valeur absolue), et c'est plus casse-pied à écrire que pour Z[i].

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