Anneau

[jeje56]

Bonjour,

On note l'ensemble des nombres complexes où

Le but est de MQ est Euclidien

Etant donnés a et b,, de , montrer qu'il existe deux éléments c et d de tels que :

a=bc+d avec |d|<|b| (|.| est le module sur C)

Indication : on pourra prouver l'existence de tel que :

Je pense à mais bien que ce soit vrai dans R, comment le démontrer dans ?

Merci de votre aide !

[tize]

Bonjour,
c'est assez classique, imagine que l'on quadrille le plan avec des droites verticales d'équation et des droites horizontales d'équations . Les points d'intersections représente les élément de et tout nombre appartient à l'un des petit rectangles formés par le quadrillage, il existe donc t.q. où est le rectangle qui a pour sommet , , , , la diagonale de ce rectangle à pour longueur , la plus petite longueur entre et l'un des sommets (qui sont tous dans ) est donc inférieur à

[Maxmau]

Bj

On a : a/b = r + is rac(2) avec r et s rationnels
Il existe des entiers p et q tels que
| p - r | <= ½ et | q - s | <= ½

[jeje56]

Bj

On a : a/b = r + is rac(2) avec r et s rationnels
Il existe des entiers p et q tels que
| p - r | <= ½ et | q - s | <= ½

Merci pour vos réponses

En particulier : p=E(r) si |E(r)-r|<|E(r)+1-r| et p=E(r)+1 sinon... Est-ce exact ? (E désigne la fonction partie entière)

Et a-t-on bien avec (si j'ai bien compris...), je ne vois pas ce passage...

Merci !

[Maxmau]

Merci pour vos réponses

En particulier : p=E(r) si |E(r)-r|<|E(r)+1-r| et p=E(r)+1 sinon... Est-ce exact ? (E désigne la fonction partie entière)

Et a-t-on bien avec (si j'ai bien compris...), je ne vois pas ce passage...

Merci !

fais un dessin
On prend p =E(r) si r entre E(r) + ½
et p = E(r) + 1 si r est entre E(r) + ½ et E(r) + 1
Ainsi |p - r| <= 1/2

[jeje56]

Ok, merci. Mais dsl d'insister : a-t-on bien ?

Merci de ton aide.

[Maxmau]

Ok, merci. Mais dsl d'insister : a-t-on bien ?

Merci de ton aide.

On a : c = p + i q rac(2) et a/b = r + s i rac(2)
|c-a/b|² = (r-p)² + 2( s-q)² <= ¼ + 2/4 = ¾
D’où: |c-a/b| <= rac(3)/2

[jeje56]

D'accord, je vois... Reste à vérifier que |d|<|b| :



Or :

Donc : |d|<|b|

Est-ce correct ?

Je me pose la question suivante : pourquoi introduit-on ici la norme N=|.|² que l'on n'utilise pas ? Peut-on dire que l'espace est Euclidien ? Pour quelle norme ?

Merci bcp !

[ThSQ]

pourquoi introduit-on ici la norme N=|.|² que l'on n'utilise pas ? Peut-on dire que l'espace est Euclidien ? Pour quelle norme ?[/B]

Ben si on l'utilise quand tu as écrit :

a=bc+d avec |d|<|b| (|.| est le module sur C)

On prend |.|² ici juste pour avoir un truc entier (c'est mieux pour une norme ).

Il est euclidien pour N.

[jeje56]

Il est euclidien pour N.

Pourtant on a MQ : a=bq+r avec |r|<|b| et non N(r)<N(b) (même si c'est évident...) non ?

Merci !

[tize]

Pourtant on a MQ : a=bq+r avec |r|<|b| et non N(r)<N(b) (même si c'est évident...) non ?

Merci !

Oui mais d'une part c'est pareille (|r|<|b| ou N(r)<N(b)) et d'autre part c'est très utile car ce qui n'est pas forcément le cas pour |r|, et on a besoin de ça pour faire de la division euclidienne....il faut nécessairement une application de ton anneau dans (exemple : si c'est l'anneau des polynômes, c'est l'application qui associe son degré au polynôme)

[jeje56]

Ok, je vois... Et dans R quelle est l'application de R dans N ?

Merci tize ;-)

[ThSQ]

Pourtant on a MQ : a=bq+r avec |r|<|b| et non N(r)<N(b) (même si c'est évident...) non ?

C'est pareil non ?


Edit : pas vu qu'il y avait une 2ème page ...