Anneau

[MC91]

Bonsoir,

J'aurai aimé savoir si un anneau ( A,+,* ) constitué de deux élements contenait obligatoirement 0 et 1 (vu que ce sont les éléments neutres pour l'addition et la multiplication ), ou bien si il pouvait contenir 0 et un autre élement.
Je me pose cette question depuis que j'ai entendu parler de l'anneau nul, ou 0 est à la fois élément neutre de + et de *.

Merci d'avance.

[Luc]

Salut,

Suppose que l'anneau contient un élément non nul. Il contient aussi un élément neutre unique pour la multiplication, que l'on note . Ce neutre vérifie en particulier , donc il est différent de , car .

En gros, si ton anneau n'est pas l'anneau nul, il vérifie

PS: je suppose ici que par définition, l'anneau contient un élément neutre pour la multiplication. Celui-ci est alors unique. Cependant, dans certains cas, on peut munir un ensemble d'une addition et d'une multiplication, mais sans avoir de neutre pour la multiplication. C'est le cas par exemple pour l'ensemble des entiers relatifs pairs, munis de l'addition et de la multiplication usuelle. On ne parle alors pas d'anneau, mais de pseudo-anneau.
(Un autre exemple un peu plus compliqué : l'ensemble des matrices 2x2 de la forme
avec et dans est un pseudo-anneau , non commutatif, avec une infinité de neutres à gauche et aucun neutre a droite (exercice!))

Luc

[MC91]

Salut,

Suppose que l'anneau contient un élément non nul. Il contient aussi un élément neutre unique pour la multiplication, que l'on note . Ce neutre vérifie en particulier , donc il est différent de , car .

En gros, si ton anneau n'est pas l'anneau nul, il vérifie

PS: je suppose ici que par définition, l'anneau contient un élément neutre pour la multiplication. Celui-ci est alors unique. Cependant, dans certains cas, on peut munir un ensemble d'une addition et d'une multiplication, mais sans avoir de neutre pour la multiplication. C'est le cas par exemple pour l'ensemble des entiers relatifs pairs, munis de l'addition et de la multiplication usuelle. On ne parle alors pas d'anneau, mais de pseudo-anneau.
(Un autre exemple un peu plus compliqué : l'ensemble des matrices 2x2 de la forme
avec et dans est un pseudo-anneau , non commutatif, avec une infinité de neutres à gauche et aucun neutre a droite (exercice!))

Luc

Ok, merci pour ces explications !
Je ne savais pas que certains anneaux pouvaient ne pas avoir de neutre pour la multiplication. C'est sans doute pour ça que dans certains bouquins on précise "anneau unitaire"...

Merci beaucoup Luc et à bientot!
Bonne soirée.

[Luc]

Dans la pratique, lorsqu'on parle d'anneau, on sous-entend souvent l'existence d'un neutre pour la multiplication. On précise quand même souvent anneau unitaire (ou unifère) pour garantir cette existence (les définitions/conventions pouvant varier suivant les pays et les époques).

Bonne soirée!
Luc

[MC91]

Dans la pratique, lorsqu'on parle d'anneau, on sous-entend souvent l'existence d'un neutre pour la multiplication. On précise quand même souvent anneau unitaire (ou unifère) pour garantir cette existence (les définitions/conventions pouvant varier suivant les pays et les époques).

Bonne soirée!
Luc

D'accord, merci pour l'explication de cette notion.

A bientot !