Anneau

[sad13]

Bonjour, la question est déterminer les éléments inversibles de Z[i] l'anneau des entiers de Gauss



Soit (a,b) dans Z² . Si z=a+ib est inversible dans Z[i], il existe z=a+ib est inversible dans Z[i], il existe z'==a'+ib' tel que zz'=1.

ce qui implique |z|²|z'|²=1.

Je ne comprends pas leur implication car elle n'est pas naturelle , j'aurai développé le produit (a+ib)*(a'+ib') puis j'aurai un système du moins un eou deux équations que doivent satisfaire a,a',b et b'.


merci

[arnaud32]

z.z'=1.

donc en passant au conjugue (z)*.(z')*.(z.z')*=1*=1.
puis en multipliant les egalites

(zz*).(z'z'*)=1.

[Skullkid]

Je ne comprends pas leur implication car elle n'est pas naturelle , j'aurai développé le produit (a+ib)*(a'+ib') puis j'aurai un système du moins un eou deux équations que doivent satisfaire a,a',b et b'.

C'est un autre moyen de le faire, mais celui qui passe directement par les modules est plus astucieux et plus court, il n'y aucun système à résoudre. Avec ta méthode on arrive à a' = a / (a² + b²) et b' = - b / (a² + b²), et on conclut pareillement.

[sad13]

merci Skullid, j'ai ce système:

aa'-bb'=1

ab'+a'b=0

de là, je ne vois pas comment parvenir au votre, merci d'avance.

[sad13]

merci arnaud, mais le conjugué de zz' c'est zbarre*z'barre donc je ne comprends pas : donc en passant au conjugue (z)*.(z')*.(z.z')*=1*=1. ? merci

[Skullkid]

Pour l'histoire des modules, tu sais que zz' = 1 donc |zz'|=1 donc |zz'|² = 1, c'est trivial...

Pour le système, tu fais comme en troisième : tu substitues, par exemple b' en fonction de a, b et a'.