Anneau

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Bonsoir, cette fois c'est sur les anneaux que je bloque. Et pourtant, là je suis sûr que ce n'est pas très difficile...

a et b 2 réels
E=R², + et X deux lois de composition internes sur E telles que:
(u1, v1) + (u2, v2) = (u1+u2, v1+v2)
(u1, v1) X (u2, v2) = (u1u2 + av1v2 , u1v2 + u2v1 + bv1v2)

1) Montrer que (E, +, X) est un anneau commutatif.
Là j'arrive à le faire par la manière longue, en revenant à la définition: lci, associativité, élément neutre ...pour les lois + et X. mais je me demandais, si on pouvait y parvenir en utilisant quelque chose de plus court qui se rapprocherait de la caractérisation des anneaux ?

2)Déterminer les diviseurs de zéro. Et là par contre je n'en trouve pas; j'ai beau essayer de résoudre un système, pour obtenir (0,0), mais je n'arrive pas à aboutir. Pourriez-vous m'expliquer la démarche à adopter ?

3) A quelle condition (E, +, X) est un corps ? Montrer dans ce cas que E est isomorphe au corps des nombres complexes.
Pour moi, c'est un corps si c'est un anneau intègre, ou si commutatif, tous les éléments sont inversibles sauf 0. Mais je ne sais pas comment montrer l'isomorphisme, même si je le conçois plus ou moins.

mERCI DE VOTRE AIDE