Anneau noetherien

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
Qu'est ce qui se passe quant un anneau ou un module n'est pas noetherien ?
A quoi sert la notion de noetherien en algèbre ?
Est ce que un espace vectoriel ou un corps quelconque est noetherien ou artinien ? ben un corps n'a seulement que deux ideaux triviaux ( ça veut dire quoi, là qu'il a une suite d'ideaux croissante ou decroissante qui finit par être stationnaire ? )
A quoi correspond un module qui est noetherien et en même temps artinien ?
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Pour les corps, on pose : et , et donc, la suite est croissante stationnaire.
Il y'a aussi ça : et , et donc, la suite est decroissante stationnaire.
Donc ,un corps est à la fois artinien et noetherien !
Je ne sais pas ce qui se passe par rapport à un espace vectoriel ! :happy3:

[barbu23]

Pour le cas d'un espace vectoriel de dimension fini : et ben tous ces sous espaces vectoriels sont engendré par un nombre fini d'éléments donc, noetherien ! :happy3:
il est aussi artinien, car toute famille de sous espaces vectoriels admet un element minimal !
Mais à quoi sert la notion : noetherien dans un module ou artinien ?
Ces deux notions sont duaux !
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Un module est artinien et en même temps noetherien est de longueur finie ( de dimension finie )
qu'est ce qui se passe si le module est seulement artinien , mais pas noetherien, ou seulement noetheiren mais pas artinien ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Finrod]

Bonjour, :happy3:
Qu'est ce qui se passe quant un anneau ou un module n'est pas noetherien ?
A quoi sert la notion de noetherien en algèbre ?

En algèbre classique, les anneaux noethériens sont les anneaux de type finis. Autrement dit, ce sont les objets sur lesquels on peut faire des "calculs à la main", par opposition au calcul formel.

Tout ce que tu dis pour les esp vect est en fait valable pour les modules libres sur un anneau noetherien.

Il faudrait que tu précise de quelle dimension tu parles pour les modules. De mémoire, un module noetherien est certainement de dimension projective finie. Si l'anneau de base est noetherien, la dimension projective et la Tor dimension sont égales.

En fait, les objets de dimension projective finie dans ce cas sont des complexes parfaits.

Mais bon, tout ça, c'est des choses qui se lisent petit à petit. Difficile de répondre à toutes des question dans un forum, là où il faudrait deux trois bouquin en référence (pour traiter le sujet de manière exhaustive).