bjr,
il faut donner un aperçu de la théorie des angles
(voir par exemple Bourbaki) :
1) à l'école élémentaire, un angle (géométrique) est un secteur, une portion
de plan compris entre deux demi-droites
On peut les ajouter tant que la somme ne dépasse pas un angle
plein.
2) Après le Bac, on s'intéresse aux transformations du plan
vectoriel qui conservent le produit scalaire et l'orientation.
on montre que ces transformations forment un groupe
commutatif, pour la composition des applications
et que leur matrice, dans une base
orthonormée , sont de la forme:
)
avec

Ces transformations sont appelées rotations.
l'angle que font deux vecteurs unitaires

et

est l'unique rotation r telle que
)
l'angle plat correspond donc à la rotation r telle que

c'est l'angle que forment deux vecteurs opposés.
On définit la somme de deux angles comme la composée
des deux rotations coorespondantes.
Ensuite, la partie des maths qu'on appelle l'analyse complexe permet
d'associer surjectivement (fonction exponentielle complexe)
à un nombre

une rotation (donc un angle).
de manière :
Le noyau de cette application est un sous-groupe discret de

noté

,
Le cosinus étant alors la partie réelle du nombre complexe
)
,
)
de module 1, vecteur unitaire

d'affixe
)
et aussi identifé à l'angle
polaire
)
:
=\Re (f(\theta)) = \Re \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \, \frac{{(i \theta)}^k}{k!} \right))
le nombre

étant le plus petit zéro positif de la fonction cosinus. On retrouve ainsi le nombre

qui est aussi
le coeff de proportionnalité entre le diamètre et la circonférence de tout cercle ainsi qu'entre l'aire et le carré du rayon.
Ceçi permet de mesurer les angles modulo

en
leur associant une famille de mesures, deux mesures quelconques
différant d'un multiple entier de

.
Ensuite, en géométrie affine, on réalise un angle de demi-droites affines
sécantes en un point O, comme l'angle que font leurs vecteurs directeurs.
La mesure d'un angle en unité radian,

, géométriquement, est alors la longueur de l'arc de cercle de rayon 1, centré en O, sommet de l'angle.
Pour les angles de droites, on doit identifier (cad, confondre)
quatre angles de deux demi-droites de même sommet.
On identifie alors les couples de vecteurs (u,v) (-u,-v) (u,-v) (-u,v)
et l'on mesure ces angles modulo

.
Cordialement,
[Bourbaki vaut bien une majuscule.AD]