Angle d'un plan euclidien

[NICO 97]

Bonjour,
J'ai un souci concernant la définition des angles dans un plan euclidien.
La définition n'est pas la même selon que le plan est orienté ou non
On considère la matrice M(s)=
Cos(s) -Sin(s)
Sin(s) cos(s)
On considère une rotation vectorielle r (automorphisme euclidien de det 1) du plan euclidien.
Alors Il existe un unique s appartenant à R/2;)Z tq, relativement à toutes base orthonormé, la matrice de r est M(s) ou M(-s) (Ca c'est ok)
Ceci nous permet de définir la mesure d'un angle comme un élément de [0,;)]
(OK aussi)
Mais lorsque l'on se place dans un plan orienté, la matrice de la rotation est inchangée par changement de base orthonormé directe. Si on change l'orientation, la matrice M(s) est changé en M(-s) (Démo OK)
Alors, (et c'est là que je bloque), l'ensemble des rotations vectorielles est isomorphes à R/2;)Z.(ce qui n'était pas le cas lorsque le plan n'était pas orienté)
Comme l'ensemble des angles est isomorphe à l'ensemble des rotations vectorielles, l'ensemble des angles est isomorphes à R/2;)Z
On peut alors définir les angles modulo 2;)

Je n'arrive pas à voir c'est ce que l'orientation du plan change dans le raisonnement.

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce point, je l'en remercie par avance.