Algèbre linéaire

[barbu23]

Bonjour à tous :
Soit un espace vectoriel de dimension de base : .
Soit un espace engendré par : qui n'est pas necéssairement une base de .
Soit une application linéaire.
On a :

On suppose que : et donc : .
Par conséquent : n'est ni injective, ni surjective.
Est ce que est une base ?
Est - il possible à partir de cette situation là de deduire l'image de : par en fonction de la base :
Merci d'avance !

[Nightmare]

A priori, aucun rapport entre B' et f... Donc je comprends pas ta première question.

Ensuite, je ne comprends pas ta deuxième question non plus. Pour calculer l'image de B' il suffit de calculer... l'image de B', en l'occurrence trouver les images des vecteurs de B' par f, rien de compliqué.

[kazeriahm]

f est defini sur E et a valeurs dans F donc sauf si F est contenu dans E (ce qui n'est pas precise) ca n'a aucun sens de regarder l'image de B' par f

[miikou]

lol c'est pas parce que ker n'est pas reduit a 0 que imf est different de F .. appart si F=E

[Nightmare]

f est defini sur E et a valeurs dans F donc sauf si F est contenu dans E (ce qui n'est pas precise) ca n'a aucun sens de regarder l'image de B' par f

Désolé, je croyais que B' était une base de E.

[kazeriahm]

Bon en supposant que B' est une famille de E, on note F le sous espace vectoriel de E qu'elle engendre.

Si f est une appli lineaire de E dans F, on peut avoir f non injective (ce qui equivaut a Ker f non reduit {0}) et Im f = F, et meme (encore pire) F strictement inclus dans Im F.

Par exemple prends dans le plan E=R^2, F=R, la projection orthogonale sur F n'est pas injective (tous les vecteurs du plan d'abscisse nul ont pour image 0) mais pourtant son image est egale a F