Algèbre linéaire

[leon1789]

J'ai moi aussi utilisé la décomposition de Fitting pour p assez grand et montré que l'on peut remplacer par dans les hypothèses.

Si u et v commutent et , alors on peut définir une application f : E -> E telle que et .

En effet, pour on pose par exemple .

On a alors et en particulier l'équivalence (1) (2).



Peut-on se passer de l'hypothèse tout en obtenant l'existence d'une telle application f : E -> E avec et ?

[yos]

Peut-on se passer de l'hypothèse

Tu travailles avec à la place de u, après avoir montré que et idem avec les images.

[ThSQ]

Oui c'est ce qu'on a fait pour contourner ce pb ;)

[leon1789]

Tu travailles avec à la place de u, après avoir montré que et idem avec les images.

Si u et v sont nilpotents d'indice p, on a et c'est différent de .

[yos]

Si u et v sont nilpotents d'indice p, on a et c'est différent de .

Avec uv=vu et ) en es-tu sûr?

[yos]

Je mets ma preuve en entier.

Je suppose que .

Si , alors donc donc donc , donc, donc . Et ainsi De proche en proche (ou par une récurrence évidente), pour tout entier naturel p.

On a pour p assez grand , donc . Mais (car la restriction de v à est inversible) donc . Ajoutons de chaque côté : . C'est fini car .

Réciproque par dualité.

[leon1789]

Avec uv=vu et ) en es-tu sûr?

On ne sait pas bien compris : je ne suppose ni , ni Im(u) + Im(v) = E, mais uniquement que u et v commutent, et je vise une application f : E -> E avec et ,
ou si on préfère, l'égalité

[leon1789]

Tu travailles avec à la place de u

Oui, on obtient alors à l'existence d'une application
f : E -> E avec et ,
donc l'égalité

[leon1789]

je ne suppose ni , ni Im(u) + Im(v) = E, mais uniquement que u et v commutent, et je vise une application f : E -> E avec et ,
ou si on préfère, l'égalité

C'est faux : on trouve des contre-exemples en dimension 3 avec des trucs nilpotents... Dommage.