Algèbre linéaire

[smartynina]

Soit A le matrice dans une certaine base de l'endomorphisme f.

Pour trouver une une base de Im(f), on transforme A en une matrice échelonnée E. On a ainsi que les colonnes qui correspondent aux marchent de E forment une base de Im(f).

Mais je ne sais pas de quelle matrice je dois extraire les colonnes. De A ou de E ?

Merci. :id:

[MacManus]

Salut

A partir de la matrice A de départ, tu effectues la méthode du pivot de Gauss pour obtenir une matrice E échelonnée. Le rang de la matrice échelonnée E est égal au nombre de pivots non nuls de la forme échelonnée. De cette matrice E, on peut déduire une base de l'image de f, cad une base de l'espace engendré par les vecteurs colonnes de A. En effectuant cet algorithme, on ne change pas le noyau de l'application linéaire f. Donc le rang de A est celui de E. Les vecteurs colonnes de A forment donc une base de l'espace engendré.

[smartynina]

Je suis désolée mais je n'ai toujours pas compris quels étaient mes vecteurs qui formeraient la base de A.

Si on prend un exemple ( non réaliste)

A= ( 1 2 3 4 )
( 5 6 7 8 )
( 9 1 2 3 )

On obtient alors :

E= ( 1 2 3 4 )
( 0 0 7 8 )
( 0 0 0 0 )

Quels sont alors les vecteurs qui forment une base de A ?

Merci :we:

[MacManus]

Le fait d'échelonner une matrice A te permet de calculer plus simplement le rang de cette matrice A. On "voit" bien si les vecteurs sont linéairement indépendants ou non, s'il y a une ligne ou une colonne nulle...par exemple).

Considérons l'espace vectoriel R qui est de dimension finie.
Si on interprète A comme étant la matrice de l'endomorphisme f de R dans une certaine base , alors une base de Im(f) est si ces vecteurs sont linéairment indépendants. Dans ce cas, ils engendrent l'espace d'arrivé Im(f). Ces vecteurs correspondent aux vecteurs colonnes de A.