Algèbre linéaire

[aure555]

Bonjour,
je voudrais montrer qu'un système possède une solution unique si et seulement si le système Ax = 0 a pour solution unique x = 0.

Je ne sais pas trop comment démarrer la preuve.
Auriez-vous des pistes à me proposer?

Merci

[tize]

Bonjour,

le système Ax = 0 a pour solution unique x = 0.

Qu'est ce que cela implique pour le noyau de A...

[aure555]

Qu'il ne possède qu'une seule valeur {0}

Désolé j'ai lu trop vite je n'avais pas vu que c'était pour le noyau de A

[aure555]

Je ne vois pas trop ce que je peux déduire du noyau de A :triste:

[tize]

Je ne vois pas trop ce que je peux déduire du noyau de A :triste:

:doh:
Rappelle moi la définition du noyau s'il te plait ...

[aure555]

Le noyau de f c'est l'ensemble des x tel que f(x) = 0.
Ici pour le système, on a le système A x = 0 donc c'est l'ensemble des x tel que l'application vaut 0.

Elle possède une seule solution si le noyau vaut {0}.

Mais pour A je ne vois vraiment pas comment trouver le noyau car il se peut que A soit constitué de réels :hein:

[tize]

Heu...tu as déjà assisté à un cours de math ?
Non je plaisante, mais plus sérieusement j'ai l'impression que tu n'as pas du tout compris certaines notions, non ?
Je résume:
A est une matrice, x un vecteur.
Une matrice peut être vue comme la représentation d'une application linéaire dans une base B. le noyau de A est alors l'ensemble des vecteurs x tels que Ax=0.
Ici il n'y a clairement que le vecteur nul. Regarde dans ton cours, si le noyau est réduit à {0} cela veut dire que l'application est injective et en dimension finie c'est équivalent à bijective, donc il existe une matrice inverse de A....

[aure555]

Ok ok daccord moi j'appelais ça le noyau de l'application linéaire.
Ok donc Ker(A) = vecteur nul ça ok

[tize]

Super :we: et donc d'après ton cours A est inversible, non ?
et le système est une seule solution

[aure555]

oui par Ker = {0}, on a l'application bijective (f bijective ssi il existe une fonction g tel que fog = 1 et gof = 1)

Donc on a bien A inversilbe.

On a donc bien l'existence d'une solution.
L'unicité de celle-ci est due à l'unicité de la matrice inverse c'est bien cela?

[tize]

Oui, mais tu peux l'écrire :
si et alors

[aure555]

Ah oui on le voit mieux de cette façon.

Merci beaucoup pour ton aide :++:

[tize]

De rien, bonne continuation.