Algebre linéaire

[nyu_liane323]

bonsoir, j'ai quelque soucis avec des exercices en algèbre linéaire, sauriez vous m'aider??

1)v_s+1, est dépendant sur v_1,...,v_s implique que la famille v_1,...,v_s, v_s+1 n'est pas libre.
(terminologie : v_s+1 est dépendant sur v_1,...,v_s si v_s+1 appartient pas a Im f_{v_1,...,v_s, v_s+1 )

2)f : V-->W, V,W espace vectoriel sur K alors f est k-linéaire ssi pourtt lambda_1 ,lambda_2 appartiennent a K , pourtt v_1,v_2 appartient a V,
f(lambda_1 * v_1 + lambda_2 *v_2) = f(ambda_1 * v_1) + f(lambda_2 * v_2 ) = lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)

merci beaucoup

[SimonB]

1)v_s+1, est dépendant sur v_1,...,v_s implique que la famille v_1,...,v_s, v_s+1 n'est pas libre.
(terminologie : v_s+1 est dépendant sur v_1,...,v_s si v_s+1 appartient pas a Im f_{v_1,...,v_s, v_s+1 )

Tu n'as pas défini f ni dit ce qu'était s par rapport à ton espace vectoriel. Dit comme ça c'est donc faux (je prends et .

f : V-->W, V,W espace vectoriel sur K alors f est k-linéaire ssi pourtt lambda_1 ,lambda_2 appartiennent a K , pourtt v_1,v_2 appartient a V,
f(lambda_1 * v_1 + lambda_2 *v_2) = f(ambda_1 * v_1) + f(lambda_2 * v_2 ) = lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)

Qu'as-tu dans ton cours comme définition d'une application K-linéaire ?

[nyu_liane323]

salut,
pour la 1) f c'est l'application linéaires, s est le nombre d 'élément de la famille
pour la 2) def Nous considérons E et F deux espaces vectoriels. Une application linéaire u est une fonction de E dans F qui vérifie :
· Pour tous x et y de E, u(x+y)=u(x)+u(y).
· Pour tout x de E, et tout scalaire a, u(ax)=au(x).

[SimonB]

salut,
pour la 1) f c'est l'application linéaires, s est le nombre d 'élément de la famille

C'est donc faux en considérant mon contre-exemple (ou bien tu nous caches quelque chose)

pour la 2) def Nous considérons E et F deux espaces vectoriels. Une application linéaire u est une fonction de E dans F qui vérifie :
· Pour tous x et y de E, u(x+y)=u(x)+u(y).
· Pour tout x de E, et tout scalaire a, u(ax)=au(x).

Tu as une équivalence à montrer. Pour le premier sens (f K-linéaire implique : ), considère et comme x et y dans ta définition... Puis conclus avec la seconde partie de ladite définition.
Pour le deuxième sens, il faut, à x et y donnés, prendre de "bons" éléments pour arriver aux deux propriétés de la définition... Regarde tes définitions et demande-toi ce qu'il pourrait être intéressant de choisir (0 et 1 appartiennent à ton corps !).

[nyu_liane323]

pour la 1) dans mon cours juste un peu avant l énoncé, j ai : si vs+1 appartient pas a Im f_{v1,...,vs}, alors v1,...,vs, vs+1 est libre, je me suis servi de ca pour dire qu effectivement (dans mon ex) que la famille n'est pas libre..
pour exercice n'est peu etre pas vrai je ne sais pas..

pour la 2) merci beaucoup donc
=> je sais que V et W sont des espace vectoriel donc prenons x = lambda_1*v_1 et y = lambda_2*v_2, je remplace dans f(...) = ... et donc je conclue en disant que j'ai f(...) = ... par définition?
<= je sais que j ai bien f(...) = ... et donc je dois prouver que V et W sont 2espace vectoriel?

c'est bien ca (j'ai un peu de mal avec les ssi alors je vérifie)

encore merci

(ps: comment on écrit de facon plus mathématique les symboles?)

[SimonB]

<= je sais que j ai bien f(...) = ... et donc je dois prouver que V et W sont 2espace vectoriel?

Non, V et W sont deux e.v. donnés. Il s'agit de montrer que f est bien linéaire selon la définition.