Algèbre linéaire

[rougedemoiselle]

Bonsoir,

Est ce que je suis sur la bonne voie ?

On définit la matrice B= 0 1 0
0 0 2
0 0 0
et la matrice I qui est ma matrice identité
On me dit de calculer B^0, B^1 et B² puis B^n

Résultats:
Pour B^0= I
Pour B^1 = BI
Pour B² = BB^1
Donc pour B^n = B^(n-1)B

Puis avec la matrice A -1 1 0
0 -1 2
0 0 -1
Il faut trouver une relation entre A,B et I
J'ai donc trouvé A = B-I
Ensuite on me demande que pour tout n>=1, de montrer que A^n = (-1)^n(I-nB+ (n(n-1)/2)B²)
Je n'arrive pas à le démontrer. Pouvez vous me donner quelques pistes ?
Merci d'avance !

[klevia]

Salut, lz seule petite piste que je vois pour l'instant et qu'il faut refaire le calcul des B^n, on te demande une expression plus précise ...

[xyz1975]

Bonsoir,

Est ce que je suis sur la bonne voie ?

On définit la matrice B= 0 1 0
0 0 2
0 0 0
et la matrice I qui est ma matrice identité
On me dit de calculer B^0, B^1 et B² puis B^n

Résultats:
Pour B^0= I

C'est bon

Pour B^1 = BI

Aussi mais B^1=B et c'est tout.

Pour B² = BB^1

Mais il faut faire les calculs moi j'ai obtenue la matrice :
(0 0 2)
B²= (0 0 0)
(0 0 0).

Donc pour B^n = B^(n-1)B

Résultat non important .
Lorsque vous calculez B^3 vous trouvez la matrice nulle.
Donc :
B^n= I si n=0
= B si n=1
=la matrice avec 0 partout sauf un 2.
=0 (matrice nulle) si n est supérieur ou égal à 3.

[rougedemoiselle]

Faut faire le calcul de B² quand même, vu que c'est la question.

Il a été fait le calcul B² 0 0 2
0 0 0
0 0 0

[rougedemoiselle]

lorsque vous calculez B^3 vous trouvez la matrice nulle.
Donc :
B^n= I si n=0
= B si n=1
=la matrice avec 0 partout sauf un 2.
=0 (matrice nulle) si n est supérieur ou égal à 3.

J'ai oublier de préciser qu'il fallait calculer B^n pour n >=3
Donc B^n = 0 pour n sup ou egal à 3

Par contre pour la dernière relation on demande pour n>=0, ce qui va poser probleme car à partir n = 3 la matrice devient nulle ...

[xyz1975]

J'ai oublier de préciser qu'il fallait calculer B^n pour n >=3
Donc B^n = 0 pour n sup ou egal à 3

Par contre pour la dernière relation on demande pour n>=0, ce qui va poser probleme car à partir n = 3 la matrice devient nulle ...

Non car on connait l'expression de B^n pour n =0,1,2.
Pour démontrer cette relation vous avez le choix entre un raisonnement par récurrence ou alors la formule du binôme de newton.
Comme A=B-I alors
A^n=(B-I)^n=SOMME (k=0 à k=n) C(n;k) B^k(-1)^(n-k)
Or cette somme est réduite à la somme des termes de k=0,1,2 car B^k=0 si k supérieur à 3.