Algèbre linéaire.

[Anonyme]

Bonjour.
J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre, de l'aide serait la bienvenue.

Si (u,v) est un endomorphisme de E, un K - espace vectoriel, et que pour tout x, v(x)=L(x)*u(x) , où L(x) est un scalaire de K , alors montrer que v(x)=L*u(x) (en gros que le scalaire ne dépend pas de x).

J'ai considéré , x et y deux éléments de E. Et les cas, (u(x), u(y)) libre, et liée. Mais dans le cas où la famille est liée je ne m'en sors pas. Peut etre faut il procéder différemment? Une petite piste serait la bienvenue.
Merci d'avance.

[thomasg]

bonjour, je ne comprend pas la définition (u,v) de ton endomorphisme.
au revoir.

[thomasg]

pour pouvoir aider, j'ai besoin que l'endomorphisme me soit redéfini plus clairement.

Au revoir. Thomas

[Anonyme]

si j'ai bien compris u et v sont des applications linéaires de E dans F tels que pour tout x et E il existe un Lx du corps tels que v(x) = Lx.u(x). s'Il s'agit maintenant de montrer que le Lx est unique et ne depend pas de x et bien c'est faux (pour x dans le noyau de u on peut choisir pour Lx n'importe quoi)

[Anonyme]

tout à l'heure je n'avais pas compris clairement l'énoncé.
je propose de saucissonner l'exercice en le généralisant peut-etre. Donc :
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K, u et v deux applications linéaires de E dans F telles que pour tout x de E il existe Lx dans K tel que v(x) = Lx.u(x). Montrer qu'alors il existe L dans K tel que pour tout x de E v(x) = L. u(x).
Aide : 1) Démontrer le resultat lorsque F = E et u l'identité de E.
2) Démontrer le resultat lorsque u est un isomorphisme
(utiliser u^-1°v et le 1)
3) cas général : choisir dans E un supplémentaire G du noyau de u,
montrer qu'on peut utiliser le resultat de 2) pour les restrictions de u et v de G dans u(G). Conclure.
Courage.

[Anonyme]

une façon équivalente de traiter le point 3) :
Comme le noyau de u est contenu dans le noyau de v on peut "factoriser" les applications u et v au travers le quotient E/keru. cette factorisation nous ramene au point 2).