Algèbre linéaire

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à démontrer ceci:
Montrer que N (nilpotente) admet n valeurs propres. Calculer ces valeurs propres et le polynôme caractèristique et le polynôme minimal.
Je ne vois pas du tout comment faire. Pouvez-vous m'aidez?
Merci.

[minidiane]

On montre facilement que p<ou= n donc N^n = 0[/quote]

Je n'arrive pas à le démontrer comment fait-on?

[Joker62]

n > p

N^n = N^p*N^(n-p) = 0 * N^(n-p) = 0
C'était facile en effet.

[minidiane]

A oui je n'avias pas du tout pensé qu'il fallait faire comme cela merci à vous deux.
Merci beaucoup.

[yos]

Ou bien tu utilises Cayley-Hamilton ... et dans le bon sens cette fois.

[minidiane]

Ok mais c'était pas dans le bon sens avant, yvos?

[yos]

N est nilpotente donc il existe p tel que N^p = 0, p étant l'indice de nilpotence.

On montre facilement que p<ou= n donc N^n = 0

Par Cayley Hamilton on voit que Khi(X) = -X^n donc la seule valeur propre de N est 0.

C'est pour montrer que que Cayley-Hamilton est intéressant.
Pour établir que 0 est l'unique valeur propre, on utilise le fait que si un polynôme P annule une matrice A, alors les valeurs propres sont parmi les racines de P. Résultat facile, il suffit de l'écrire. Pas besoin de Cayley-Hamilton.
Par contre c'est une fois qu'on sait que 0 est l'unique vp, on peut en déduire que est le polynôme caractéristique (au signe près)

[minidiane]

A d'accord je comprend, merci yvos