Algèbre linéaire

[lieutenant R]

quel qu un pourrait il m expliquer ces affirmations ?

E,F deux K ev et f une application linéaire de E dans F :

f est surjective ssi Im f = F ?
f est injective ssi ker f = {0E} ?

Soit E un K-ev et F,G deux sev supplémentaires de E et soit p un projecteur

Im p = F
Ker p = G

merci a vous !

[sandrine_guillerme]

Que cer que tu ne comprends pas au juste ?

l'injéctivité ou la projection ?

Précise ta question ..

[Joker62]

Oui si tu veux juste savoir ce que ça veut dire, bé c'est marqué...

f injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul. ( Démo basique )
etc...

[lieutenant R]

ce sont ces 4 propositions que je ne comprends pas !
1°)f est surjective ssi Im f = F

2°)f est injective ssi ker f = {0E}

3°)Im p = F

4°)Ker p = G

merci !

[Joker62]

2)
f est injective si et seulement si le noyau de f est réduit au vecteur nul

(<=)
On suppose que le noyau est réduit au vecteur nul.
Montrons que f est injective.

Soit x,x' tel que f(x) = f(x'), montrons que x = x'

f(x) = f(x') => f(x) - f(x') = 0 => f(x-x') = 0 => x-x' € ker(f) => x-x' = 0 => x = x'

(=>)
On procéde par contraposée :
On suppose qu'il existe x non nul dans ker(f).

Ainsi f(x) = 0 = f(0E) Donc f n'est pas injective.

Donc si f injective alors ker(f) est réduit à {0E}

Voilà y'a rien à comprendre, faut juste savoir.

Pour le reste c'est pareil