Algèbre linéaire

par **minidiane** » 07 Jan 2007, 15:44

Bonjour je n'arrive pas à résoudre un exercice je ne sais pas du tout comment faire pouvez vous m'aider, merci.

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur C. Soient f et g deux endomorphismes de V tels que f rond g = g rond f.
1) Soit v un vecteur propre de f associé à la valeur propre lambda. On suppose g(v) différent de 0. Montrer que g(v) est aussi vecteur propre de f. A quelle valeur propre est-il associé?

2)Soit lambda une valeur propre de f. Soit vlambda l'espace propre associé. Montrer que vlambda est stable par g. (g(vlambda) inclu vlambda).
En déduire que f et g ont un vecteur propre commun.

3) On suppose que f et g sont diagonalisable. Montrer qu'il existe une base dont les éléments sont à la fois vecteurs propres de f et de g.

par **simplet** » 07 Jan 2007, 15:52

qu'a tu reussi a faire??

En fait utilise "a fond" ou "a toutes les sauces" la ppté f.g=g.f ...
par exemple si f(v)=0 alors g(f(v))=0=f(g(v))=0 .. ce qui repond a la premiere question..

par **simplet** » 07 Jan 2007, 15:57

qu'a tu reussi a faire??

En fait utilise "a fond" ou "a toutes les sauces" la ppté f.g=g.f ...
par exemple si f(v)= a.v alors f(g(v))=g(f(v))=g(a.v)=a.g(v) .. ce qui repond a la premiere question..

par **minidiane** » 07 Jan 2007, 18:00

Merci pour ton aide mais je n'arrive pas du tout à faire la suite.
Comment je dois faire pour montrer que Vlambda est stable par g?
Je ne vois pas trop.

par **kazeriahm** » 07 Jan 2007, 19:05

qu'est-ce que ca veut dire que l'espace propre associé a la valeur propre lambda est stable par g?

qu'as tu montré a la question 1 ?

par **minidiane** » 08 Jan 2007, 09:37

kazeriahm a écrit:qu'as tu montré a la question 1 ?

pour la question 1 j'ai montré que g(v) est aussi vecteur propre de f.

kazeriahm a écrit:qu'est-ce que ca veut dire que l'espace propre associé a la valeur propre lambda est stable par g?

Ben justement je ne sais pas trop ce que cela veut dire.

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 11:55

une partie F est stable par g ssi pour tout x de F, g(x) est dans F

par **minidiane** » 08 Jan 2007, 13:25

Désolé mais je n'ai pas très bien compris.

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 13:32

c'est une définition :
F stable par l'application g ssi g(F) inclus dans F.

donc ssi pour tout x élément de F g(x) est élément de F

par **minidiane** » 08 Jan 2007, 17:30

ok mais je ne vois pas du tout comment faire ici.

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