DM algèbre linéaire

par **tibo** » 31 Oct 2006, 12:09

Salut ! Je suis en Khâgne lettres et sciences sociales au lycée Montaigne à Bordeaux, et j'ai un DM très dur à faire ! Pourriez-vous m'aider un peu SVP ?

Soit E un espace vectoriel sur R de dimension d>2.
Soit h un ss-espace vectoriel de E de dim d-1
u un endomorphisme de E / u(h)=h quel que soit h appartenant à H

1°) soit a un vecteur de E n'appartenant pas à H
Montrer qu'il existe un unique réel µ et un unique ha appartenant à H tels que u(a) = µa + ha

2°) Montrer que le réel µ ne dépend pas du choix de a n'appartenant pas à H

Voilà. Merci beaucoup

Thibault

par **Yipee** » 31 Oct 2006, 18:39

Si tu notes F le sous espace vectoriel engendré par a. Alors H et F sont en somme directe. On en déduit que u(a) se décompose de manière unique :

Pour la deuxieme question tu choisis a et b qui ne sont pas dans H. Il existe c tel que b = c.a + h où h est dans H. On en déduit que

D'autre part

Par unicité de l"écriture on en déduit que

.

par **Imod** » 31 Oct 2006, 18:58

Bonjour .

On note f un élément non nul de E-H et F la droite vectorielle engendrée par f alors

et tout élément a de E s'écrit de manière unique

. Notons

et considérons

.

On a l'existence , et même l'indépendance par rapport à a . Pour l'unicité :

Imod

par **Imod** » 31 Oct 2006, 19:16

Je suis très lent pour taper les codes Latex , le message de Yipee est arrivé pendant que je ramais sur mes bornes [TEX et [/TEX , sa solution est bien plus simple que la mienne :++:

Imod

par **tibo** » 31 Oct 2006, 19:24

merci beaucoup !

Thibault

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