Algèbre linéaire

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je n'arrive à rien faire, je suis habitué à travailler sur des applications linéaires où on connaît l'expression de l'application. Mais pas ici

Soit une application linéaire. Sa matrice dans la base de est notée .

On a :

1/ Montrer que si et seulement si tous les coefficients de la matrice sont des entiers relatifs.

On suppose dans cette question que

2/ Montrer que contient 2 vecteurs linéairement indépendants.
3/ En déduire que est surjective puis bijective.
4/ Montrer que
5/ Justifier que est inversible est que les coefficients de sont des entiers relatifs.
6/ Montrer que

[infernaleur]

Salut,
Comme tu as l'expression de la matrice de ton application linéaire dans une base, tu en déduis que :




Donc si tu veux avoir une expression de ton application linéaire:

Soit

Donc :
Donc:

En fait, on remarque que
(surement un résultat dans ton cours ?)

Donc si tu veux avoir l'expression de ton application linéaire et que tu as sa matrice dans une base. Il te suffit de faire le calcul matriciel

[mehdi-128]

Merci beaucoup Infernaleur, j'ai tout compris
En fait je reprends l'algèbre linéaire après de longues années j'ai encore du mal.

Pour la question 1 je dois montrer que :



Montrons que

La matrice A est composée des vecteurs colonne et

Par hypothèse : donc :

De même par hypothèse : donc :

Par contre je bloque sur l'implication :

Montrons que

[infernaleur]

Merci beaucoup Infernaleur, j'ai tout compris
En fait je reprends l'algèbre linéaire après de longues années j'ai encore du mal.

Pour la question 1 je dois montrer que :



Montrons que

La matrice A est composée des vecteurs colonne et NON, elle est composée des COORDONNÉES de f(e1) et f(e2) exprimées DANS LA BASE (e1,e2) !!!!

Par hypothèse : donc : Euh tu veux plutôt dire appartient à Z^2 non ? Et comment tu justifie que a1 et b1 sont aussi dans Z ?

De même par hypothèse : donc :

Par contre je bloque sur l'implication :

Montrons que

[mehdi-128]

Oui erreur de frappe.

Par hypothèse

Or comme et alors forcément et c'est ça ?

Pourriez vous m'aider pour la réciproque ?

[infernaleur]

Soit
Donc il existe tels que
Or je t’ai donné l'expression de f qui est
Le résultat est évident maintenant.

[mehdi-128]

Merci j'ai aussi trouvé une solution et j'ai finalement résolu tout l'exercice

Soit un vecteur de donc il existe tel que

Montrons que



Donc :

Les 2 coordonnées de sont à coordonnées entières donc