Algèbre linéaire.

[infernaleur]

Salut j'aurais besoin d'aide pour cette question.

Soit a une application linéaire de R^4 vers R^3, soit la base canonique de R^3
On a Im(a) qui est engendré par les vecteurs : et .

On me demande de déterminer l'orthogonal de Im(a) et en déduire un système d'équations caractérisant l'image de a.

Pour la première partie de cette question je pense avoir juste.
On a
On pose
Donc et

Bref après calcul je trouve que

Mais pour la deuxième partie de la question ( déduire un système d'équations caractérisant l'image de a) je ne vois pas comment faire.

Merci pour vos réponses !

[Ben314]

Salut,
c'est l'orthogonal de l'orthogonal de donc l'orthogonal de l'élément c'est à dire l'ensemble des tels que

[infernaleur]

Salut,
c'est l'orthogonal de l'orthogonal de donc l'orthogonal de l'élément c'est à dire l'ensemble des tels que

En effet ...
Merci !!

[pascal16]

Lien avec la géométrie de lycée :
Dans R3, on a le produit vectoriel qui donne un vecteur orthogonal au sens géométrique qui est aussi l’orthogonal au sens de l'espace vectoriel.
Et avec le vecteur normal à un plan, on a son équation cartésienne (qui dans un espace vectoriel passe par (0;0;0;) donc il n'y a pas de constante dans l'équation).

[infernaleur]

Merci pascal pour l'info

[Ben314]

Lien avec la géométrie de lycée :
Dans R3, on a le produit vectoriel qui donne un vecteur orthogonal au sens géométrique qui est aussi l’orthogonal au sens de l'espace vectoriel.

Sauf que là, ça marche pas du tout comme ça vu que tu ne considère pas R^3 comme un espace Euclidien, mais uniquement comme un espace vectoriel.
Donc tu n'a aucune notion de produit scalaires entre vecteurs donc évidement pas de notion d'orthogonalité entre vecteurs, ni de vecteur normal, ni rien du même genre.

[infernaleur]

Lien avec la géométrie de lycée :
Dans R3, on a le produit vectoriel qui donne un vecteur orthogonal au sens géométrique qui est aussi l’orthogonal au sens de l'espace vectoriel.

Sauf que là, ça marche pas du tout comme ça vu que tu ne considère pas R^3 comme un espace Euclidien, mais uniquement comme un espace vectoriel.
Donc tu n'a aucune notion de produit scalaires entre vecteurs donc évidement pas de notion d'orthogonalité entre vecteurs, ni de vecteur normal, ni rien du même genre.

Ben j'ai eue un cours de géométrie affine (dans R^n) et dans des exercices on utilise souvent le produit scalaire alors qu'en géométrie affine on est pas censé l'utiliser non ?

[pascal16]

Ben, le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires de R3 (espace classique de géométrie) est bien un vecteur orthogonal aux deux premiers.
Ils sont des représentants de vecteurs de l'espace vectoriels dont le troisième est bien l'orthogonal du ssev engendré par le deux premiers. Heureusement que les propriétés sur les représentants des vecteurs ne deviennent pas fausses.

[Ben314]

Ben j'ai eue un cours de géométrie affine (dans R^n) et dans des exercices on utilise souvent le produit scalaire alors qu'en géométrie affine on est pas censé l'utiliser non ?

Y'a forcément un des deux "affines" qui est pas à sa place (sinon, c'est sans queue ni tête ta phrase).

Ce qui est exact, c'est qu'on utilise (évidement) le produit scalaire en géométrie Euclidienne (un espace Euclidien, c'est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire), mais qu'on a (évidement) pas à l'utiliser en géométrie affine (un espace affine, c'est un espace avec une structure sous-jacente d'espace vectoriel, mais non muni de produit scalaire).

Et justement, dans le cas des espaces non munis d'un produit scalaire, ce qu'on utilise pour "remplacer" le produit scalaire, c'est la notion d'espace dual (celui des formes linéaires de E dans R).
Cette notion d'espace dual est complètement inutile lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire vu que dans ce cas, les formes linéaires c'est très exactement les applications x -> <a|x> pour un vecteur a donné donc on a une bijection totalement naturelle entre E et le dual ce qui fait que ce dernier ne sert plus à rien.

[infernaleur]

Ok je vois, merci pour l'info.

[Ben314]

Pour bien que tu comprenne la différence entre les deux, il te suffit de regarder... l'exercice que tu est en train de faire :
Si tu considérait que le R^3 dans lequel tu travaille est muni d'un produit scalaire (que je note <x|y>) alors l'ensemble désignerais bien évidement l'ensemble des vecteurs de R^3 qui sont orthogonaux à tout les vecteurs de , ce qui aurait parfaitement du sens vu que le fait d'avoir un produit scalaire te permet de parler d'orthogonalité entre deux vecteurs.
Alors que là, ce que tu as écrit, c'est que désigne un ensemble de formes linéaires de R^3 -> R (et pas un ensemble de vecteurs) ce qui fait que tu n'as pas besoin de notion de produit scalaire pour que ça ait du sens (et à mon avis, ça sous entend même clairement que tu n'en a pas, sinon tu te précipiterais dare dare sur la première définition de l'orthogonal, qui est bien plus simple...)

Enfin, bref, si on te fait faire des exo. comme celui là concernant la "vraie" notion de dualité, il faut absolument que tu comprenne qu'il y a deux notion distincte "d'orthogonal d'une partie de E" :
- Soit E est muni d'un produit scalaire donc on peut parler de vecteurs de E qui sont orthogonaux et dans ce cas, l'orthogonal d'une partie X de E, c'est l'ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tout les vecteurs de X.
- Soit E n'est pas muni d'un produit scalaire donc ça veut rien dire de parler de vecteurs orthogonaux et dans ce cas, l'orthogonal d'une partie X de E, c'est l'ensemble des formes linéaires du dual E* de E qui sont nulles en tout point de X.

[infernaleur]

Oui mais par exemple pour l'exercice suivant que l'on avait traité en cours :
Soient a,b,c,d des points distincts de l'espace affine R^3, on note D, E et F les droites passant par ....
Montrer que D, E et F sont concourantes et que leur point d'intersection est l'isobarycentre de a,b,c,d.
Pour cette exo (et d'autre de ce type) notre prof a utiliser le produit scalaire c'est pour cela que sa me perturbe.

[Ben314]

Ben ton prof., tu lui dira de ma part (enseignant à l'université avec 30 ans de carrière...) que c'est complètement stupide de travailler dans le dual E* d'un espace lorsque l'on considère que l'espace en question est déjà muni d'un produit scalaire (vu qu'on a déjà une notion "interne" d'orthogonalité).

Tient, par exemple tu lui demandera comment on fait quand il y a un en exposant sur une partie de R^3 (style ) pour savoir si ça désigne un ensemble de vecteurs ou bien un ensemble de forme linéaires (puis tu me dira ce qu'il t'a répondu, histoire que je me marre...)

[infernaleur]

Oui c'est vrai que pour différencier l'orthogonal sa devient compliqué après. Quand je le croiserais je lui demanderais ^^

[Ben314]

En dimension finie, tu peut évidement toujours munir ton espace d'un produit scalaire : tu prend une base absolument quelconque et tu décrète qu'elle est orthonormée, c'est à dire que l'expression du produit scalaire de deux vecteurs x et y de coordonnées (x1,x2,...,xn) et (y1,y2,...,n) dans cette base, c'est (par définition) x1.y1+x2.y2+...+xn.yn et pouf c'est fini : ton espace est muni d'un produit scalaire. (c'est à mon avis une des raisons pour lesquelles c'est de moins en moins enseigné la dualité : a peut prés partout, on restreint de plus en plus l'étude des e.v. à la dimension finie et dans ce cadre là, ça a pas bien d'intérêt la notion de dualité)

Sinon, même en dimension finie, le (petit) intérêt que ça a, c'est si tu est dans un espace que tu ne visualise pas naturellement comme un truc "géométrique", par exemple l'ensemble E des polynômes de degré plus petit qu'un N fixé, "d'inventer" de toute pièce un produit scalaire (par exemple en disant que la base canonique des polynômes est orthonormée) de façon à pouvoir dire que l'ensemble des polynômes P tels que P(1)=0, c'est l'orthogonal du polynôme Q=1+X+X^2+...+X^n (car le produit scalaire d'un polynôme P avec ce Q là, c'est la somme des coeff de P, donc c'est P(1)), ça fait un peu "sorti d'un chapeau" et c'est peut être plus malin (et plus compréhensible) de dire que l'application F : P -> P(1) c'est en fait une forme linéaire sur ton espace de polynômes, c'est à dire un élément du dual et que l'ensemble des polynômes tels que P(1)=0, c'est l'orthogonal de cette forme linéaire F.
Bref, dans le cas des polynômes (qu'on se restreigne à ceux de degré <=N ou pas), les "fonctions d'évaluation", c'est à dire celle de la forme P -> P(a) (qui sont des éléments du dual de ton espace de polynôme) sont extrêmement naturelles donc ça parait plus judicieux de les utiliser plutôt que d'inventer un produit scalaire sorti de nulle part.

[infernaleur]

Merci de prendre ton temps pour m'expliquer cela.
Mais en gros si j'ai bien compris ce qui fait la principale utilité de la dualité c'est en dimension infini c'est sa ? En gros sa permet de faire un "détour" pour pouvoir utiliser l'orthogonalité (en la définissant comme l'ensemble des formes linéaires du dual de l'espace en question qui sont nulles) ?

[Ben314]

Oui, en dimension infinie, il y a beaucoup d'espaces vectoriels dans lequel on ne possède pas de produit scalaire et, contrairement à la dimension finie, on ne peut pas en "inventer un" donc... on fait sans...
Et effectivement, cet histoire de dualité entre E et E*, on peut dire que c'est une tentative (qui marche assez bien) pour, dans un espace où on n'a pas de produit scalaire, faire plus ou moins la même chose que dans un espace où il y en a un, mais il y a quand même (d'assez grosses) différences, ne serait-ce que du fait que l'orthogonal d'une partie de l'espace E, c'est pas une partie de E.

[Pseuda]

Bonjour,

Merci Ben314 d'avoir répondu au message que j'ai supprimé (je voulais le reformuler plus clairement). Je le remets pour la bonne compréhension :

"Tout ceci m'éclaire sur la dualité (son intérêt), et merci Ben314, à ceci près que je n'ai pas en tête un exemple d'espace vectoriel en dimension infinie qui ne peut pas être muni d'un produit scalaire. Un exemple ? En fait je ne saisis pas bien l'intérêt de la dualité."

Je reviens sur ta réponse ce soir (beaucoup de choses à faire aujourd'hui).

[Lostounet]

Bonjour,

Merci Ben314 d'avoir répondu au message que j'ai supprimé (je voulais le reformuler plus clairement). Je le remets pour la bonne compréhension :

"Tout ceci m'éclaire sur la dualité (son intérêt), et merci Ben314, à ceci près que je n'ai pas en tête un exemple d'espace vectoriel en dimension infinie qui ne peut pas être muni d'un produit scalaire. Un exemple ? En fait je ne saisis pas bien l'intérêt de la dualité."

Je reviens sur ta réponse ce soir (beaucoup de choses à faire aujourd'hui).

La dernière fois où j'ai vu l'importance de la dualité c'était en analyse fonctionnelle dans la notion d'espaces réflexifs:

https://www.google.fr/url?q=http://math ... S82nSN5oQy

[Ben314]

Sinon, si tu regarde l'exo. posé là :
superieur/polynomes-lagrange-t188947.html
dont le contexte est bien un e.v. de dim. finie (à savoir et les polynômes de Lagrange), ça semble quand même bien plus naturel de raisonner en terme de dualité qu'en terme d'orthogonalité "interne" avec un produit scalaire "inventé" de toute pièce.