Algèbre linéaire

[jameso]

bonjour

je bute sur un point d'une démo d'un exo:

on considere deux matrices A et B de Mn(C) et je cherche une condition nécessaire et suffisante sur (A,B) pour que l'application u:X--->AX -XB de Mn(C) soit surjective (ie injective car on est en dim fine)

donc si on suppose que le noyau de u est non nul il existe X non nul tel que AX=XB puis apres quelques trucs simples on arrive à P(A)X=XP(B) pour tout poly de C(X) . si on prends le poly caracteristique de A ,disons µ_A ,par Cayley-Hamilton il vient Xµ_A(B)=0 ;comme X n'est pas nul on a µ_A(B)=0...

mais la je vois pas ce qu'il faut dire apres ?? peut-etre que A-B est non inversible par definition du poly carac ??

merci de votre aide

[tize]

Bonjour Jameso,
Je ne sais pas si c'est l'énoncé de l'exercice qui demande d'utiliser le polynome caractéristique et je ne vois pas encore comment faire de cette manière mais il me semble que l'on peut directement montrer l'equivalence u:X--->AX -XB est bijective et A et B n'ont pas de valeur propre commune.(ou plutôt la contraposée de cette équivalence)

[jameso]

merci tize

en fait je pense que µ_A(B)= 0 implique A-B non inversible implique 0 est val propre de A-B mais je ne sais pas quoi en conclure sur le spectre de (A,B)

[tize]

juste une petite question : tu penses cela à cause de la maniere dont est formulé l'énoncé de ton exercice ?

[jameso]

bon en fait dans la correction il disent "comme X est non nul ,µ_A(B) est non inversible donc sp(A) inter sp(B) non vide " et ça je ne vois pas d'où ça sort??

sinon je suis ouvert à toute autre démo

[tize]

Soit K l'ideal : où est le polynome minimal de .
donc et or il y a donc des racines (valeurs propres) communes à dans , celles de .

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise.

[jameso]

merci tize, cette réponse me convient.