Algèbre linéaire

[Jamdaw]

Bonsoir, j'ai ce troisième exercice à résoudre, je ne suis pas sure d'avoir trouvé les vecteurs de base, je n'ai là que les vecteurs canonique..

Montrer que est un sev de dont on donnera une base et la dimension

On veut montrer que F est un sev de

1) Montrons que F est non vide
On a (0,0,0,0)=0
Donc F

2)Montrons la stabilité
Soient (x,y,z,t) \in F, (x',y',z',t') \in F et \lambda \in \mathbb{R}
Montrons que (x+\lambda x', y+\lambda y', z+\lambda z', t+\lambda t') \in F

(x+x') + 3(y+y') -2(z+z') -5(t+ t')
= x+x' + 3y + 3y' -2z -2z' - 5t - 5t'
=x+3y-2z-6t + (x'+3y'-2z'-5t')
or x+3y-2z-6t=0 et (x',y',z',t') \in F, donc il vérifie x'+3y'-2z'-6t'=0

(x+x') + 2(y+y') -(z+z') -(t+ t')
= x+x' + 2y + y' -z -z' - t - t'
=x+2y-z-t + (x'+2y'-z'-t')
or x+2y-z-6=0 et (x',y',z',t') \in F, donc il vérifie x'+2y'-z'-t'=0

Donc F est stable par addition et par multiplication par un scalaire, c'est bien un sev de

3) Cherchons une base de F
Soient (e_1,...,e_n) une famille libre de n vecteurs de F tq
Résolvons le système
pour trouver les vecteurs de base
je ne fais pas ce que ce dollar fait là..






x,z


(x,y,z,t) = (x, 4x+3z,y,9x+7z
(x,y,z,t)= ((1,0,0,0), 4(1,0,0,0)+3(0,0,1,0), y(0,1,0,0), 9(1,0,0,0)+7(0,0,1,0))
(x,y,z,t)= , 4+3,, 9+7
F=Vect {,,,} et dim(F)=4

[zygomatique]

salut

si dim(F) = 4 alors F = R^4 ... ça m'étonnerait beaucoup ....

sais-tu ce qu'est un hyperplan ? quelle est sa dimension ?

[Jamdaw]

Bonsoir, je sais que si on a un espace vectoriel E de dimension finie et que si on a F un sev de E, alors dim(F)=dim(E)-1=3
j'y ai pensé quand je suis arrivée à
(x,y,z,t)= , 4+3,, 9+7, mais je n'ai pas trouvé de relation de propostionalité entre 4+3
et 9+7, je me suis dis que du coup, on se ramenait à 3 vecteurs de base, mais je n'ai pas pensé à l'hyperplan.
Du coup, dim(F)=3 ?

[zygomatique]

je ne ferai pas les calculs mais tes deux équations définissent chacune un hyperplan

ces deux hyperplans étant distincts (suffit de faire z = t = 0) leur intersection est de dimension au plus 2 ...

[Jamdaw]

je ne ferai pas les calculs mais tes deux équations définissent chacune un hyperplan

ces deux hyperplans étant distincts (suffit de faire z = t = 0) leur intersection est de dimension au plus 2 ...

D'accord, je vais revoir ça, je ne sais pas reconnaitre un hyperplan a son équation, mis a part le théorème et le corollaire (que j'ai donné tout a l'heure), je ne connais pas les hyperplans, pas encore. Mais pour le reste, c'est cohérent ?

[mathelot]

bonjour,


(1)-(2) donne










est une famille génératrice et libre donc une base de F.

[chombier]

F est le noyau d'une application linéaire de R^4 dans R^2 donc F est un sous espace vectoriel de R^4