Je bloque sur la démo suivante : on me demande de prouver que, si F et G sont deux s.e.v de E ; alors
La démo suivante est-elle correcte?
Je raisonne en distinguant deux cas :
1°) F et G confondus : alors c'est évident.
2°) Si F et G non confondus, alors :
Prenons l'hypothèse
Soit alors
On a alors, pour tout y de G :
Donc,
L'hypothèse que (x+y) est dans G est impossible, car alors x (= z' - y) serait dans G aussi, ce qui est est contraire à sa définition.
Donc (x+y) est forcément dans F, et donc y (= z - x) est forcément dans F aussi.
Or, on avait dit que y était un élément de G. On montre désormais qu'il appartient aussi à F.
Ce raisonnement étant valable pour tout y de G, on en déduit que G est inclus dans F.
On procéderait de même pour montrer l'alternative
Qu'en pensez-vous? Je pense que quelque chose doit clocher, je ne sais pas.
Merci!