DM algèbre linéaire

[tibo]

Bonjour. Je me présente : je m'appelle Thibault et je suis en Hypokhâgne B/L (Lettres et Sciences sociales). J'ai un DM de maths pour les vacances, et il s'agit d'algèbre linéaire (et plus particulièrement de projecteurs...). Pourriez-vous m'aider SVP ?

Avec E un espace vectoriel sur le corps des réels de dimension finie, soit e l'endomorphisme identité et u un endomorphisme projecteur, c-à-d tel que u²= u.

u est un projecteur si et seulement si (e-u) est un projecteur.

Montrer que Im(u) = Ker(e-u) et que Ker(u) = Im(e-u), avec Ker(u) le noyau de u, et Im(u) l'image de u. Je montre à tout hasard ce que j'ai fait :

x appartient à Ker(e-u) (e-u)(x) = 0 e(x)-u(x) = 0 [car (e-u) application linéaire] et e(x)= x donc u(x) = x donc x appartient à Im(u) d'où Im(u) = Ker(e-u)

x appartient à Ker(u) u(x) = 0 e(x)-u(x)=x (e l'endomorphisme identité) (e-u)(x) = x (ce qui est le cas) donc Ker(u)=Im(e-u)

Ensuite montrer que Im(u) et Ker(u) sont 2 sous-espaces supplémentaires.

Avec u et v deux projecteurs, montrer que u+v est projecteur si et seulement si Im(v) inclus dans Ker(u) et Im(u) inclus dans Ker(v). Enfin, montrer qu'un endomorphisme f de E commute avec un projecteur u si et seulement si f(Im(u)) inclus dans Im(u) et f(Ker(u)) inclus dans Ker(u).

Voilà. Merci beaucoup. A bientôt.

Thibault

[yos]

Montrer que Im(u) = Ker(e-u) et que Ker(u) = Im(e-u), avec Ker(u) le noyau de u, et Im(u) l'image de u. Je montre à tout hasard ce que j'ai fait :

x appartient à Ker(e-u) (e-u)(x) = 0 e(x)-u(x) = 0 [car (e-u) application linéaire] et e(x)= x donc u(x) = x donc x appartient à Im(u) d'où Im(u) = Ker(e-u)

Thibault

Perte de la condition suffisante à l'endroit graissé. Du coup tu n'as qu'une inclusion : .

[flight]

salut

il s'agit de montrer que Im(u)=ker(e-u) avec u²=u

si y element de Im(u) alors il existe x de E tel que u(x)=y
de meme y serait element de ker(e-u) soit (e-u)(y)=0
soit e(y)-u(y)=e(u(x))-u(u(x))=e(u)-u²=u-u=0
alors (e-u)(y)=0 alors y verifie aussi ker(e-u)

voila , ca reste à verifier ca fait bien des années que j'ai plus fait tout ca

[flight]

il s'agit aussi de verifier que

Im(e-u)=keru

soit y appartenant à Im(e-u), alors il existe x tel que (e-u)(x)=y

soit e(x)-u(x)=x-u(x)=y en composant par u les 2 mbrs de l'équation

x-u(x)=y on obtient u(x-u(x))=u(x)-u²(x)=u(y) et comme u²=u

il vient u(y)=0 et y verifie donc aussi keru.

[tibo]

merci beaucoup Flight

maintenant je n'arrive pas à démontrer qu'un endomorphisme f de E commute avec un projecteur u si f(Ker(u)) C Ker(u) :

soit y appartenant à f(Ker(u)). f(u(y)) = 0

f ° u(y) = 0 donc u(f(u(y))) = u(0) = 0

u(f(u(y))) = u²(f(y)) = u(f(y)) = 0

mais à partir de là je bloque...

Pourriez-vous me donner ne serait-ce qu'une piste SVP ?

[yos]

Pour y dans keru : fou(y)=0 et uof(y)=0 car f(y) est aussi dans keru (hypothèse selon laquelle f laisse stable keru). On a bien fou(y)=uof(y).

On a prouvé que les restrictions de u et f à keru commutent.


Je pense que dans le cas général c'est faux! On a besoin que f laisse aussi stable Imu.
Peux-tu vérifier ton énoncé?

[tibo]

Je confirme : le sujet est tiré du concours ENSAI option éco 2002 (mais il y avait peut-être faute de frappe):

"Montrer qu'un endomorphisme f de E commute avec un projecteur u si et seulement si : f(Im(u)) C Im(u) et f(Ker(u)) C Ker(u) "

J'arrive à démontrer le premier :

soit y appartenant à f(Im(u)). Il existe donc x appartenant à E tel que y = f(u(x)) donc u(y) = u(f(u(y))) = u°u(f(x)) car u et f commutent donc on peut dire que u(y) = u²(f(x)) = u(f(x)) et donc u(y) = f(u(x)) = y donc y appartient aussi à Im(u).

En revanche, pour le noyau, je n'y arrive pas du tout...

[yos]

Je confirme : le sujet est tiré du concours ENSAI option éco 2002 (mais il y avait peut-être faute de frappe):

"Montrer qu'un endomorphisme f de E commute avec un projecteur u si et seulement si : f(Im(u)) C Im(u) et f(Ker(u)) C Ker(u) "

J'arrive à démontrer le premier :

soit y appartenant à f(Im(u)). Il existe donc x appartenant à E tel que y = f(u(x)) donc u(y) = u(f(u(y))) = u°u(f(x)) car u et f commutent donc on peut dire que u(y) = u²(f(x)) = u(f(x)) et donc u(y) = f(u(x)) = y donc y appartient aussi à Im(u).

En revanche, pour le noyau, je n'y arrive pas du tout...

Mais bon sang c'est ce que j'ai dit : tu as mis une hypothèse sur deux dans ton précédent message et je t'ai dit qu'il manquait "Imu stable par f" .
Quant à la solution du cas y dans keru c'est ce que je t'ai fait.
Enfin pour y quelconque dans E, il faut le décomposer en y1+y2 sachant que E est somme directe de keru et Imu