Algebre lineaire

[dubus]

bonjour à tous

Pouvez vous m'aider à resoudre cet exercice svp

Soit E = ;)3 [X] muni de sa structure euclidienne canonique. On note <,> , le produit scalaire
canonique de E . On pose
F = {P appartient E/ P(1) = 0}
1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E .
2) Déterminer une base orthonormale de F.

je vous remercie

[Nightmare]

Salut,

qu'as-tu essayé?

[dubus]

Salut,

qu'as-tu essayé?

Salut nightmare

j'ai compris que E est de dim 4 et que la base canonique de E est (1,X,X2 ,X3 ). Par analogie E se "comporte" donc comme IR4 .
aussi compris que tout élément P de F était de la forme : P = a+bX+cX2 +dX3 avec a+b+c+d=0 autrement dit avec a=-b-c-d. On peut donc mettre P sous la forme : (-b-c-d)+bX+cX2 +dX3 . Normalement à partir de cette dernière expression de P, on peut trouver la famille qui engendre F. Par analogie avec IR4 , on "peut voir F comme " l'ensemble des (x,y,z,t) tels que : x+y+z+t=0.
je pense qu'il faut montrer que la famille trouvée est libre, puis la rendre orthonormée

mais tres franchement je bloque

[raph107]

Salut nightmare

j'ai compris que E est de dim 4 et que la base canonique de E est (1,X,X2 ,X3 ). Par analogie E se "comporte" donc comme IR4 .
aussi compris que tout élément P de F était de la forme : P = a+bX+cX2 +dX3 avec a+b+c+d=0 autrement dit avec a=-b-c-d. On peut donc mettre P sous la forme : (-b-c-d)+bX+cX2 +dX3 . Normalement à partir de cette dernière expression de P, on peut trouver la famille qui engendre F. Par analogie avec IR4 , on "peut voir F comme " l'ensemble des (x,y,z,t) tels que : x+y+z+t=0.
je pense qu'il faut montrer que la famille trouvée est libre, puis la rendre orthonormée

mais tres franchement je bloque

Un élément de F est de la forme P(X) = (-b-c-d)+bX+cX² +dX^3 = b(X-1) + c(X² - 1) + d(x^3 -1)
Si on pose e1(X) = X - 1 ; e2(X) = X² - 1 ; e3(X) = X^3 - 1, la famille (e1, e2, e3) est une famille génératrice de F et il est facile de voir qu'elle est libre, donc elle forme une base de F. Il te reste à construire à partir de cette base une base orthonormée.

Si c'est pas clair n'hésite pas à revenir

[dubus]

Un élément de F est de la forme P(X) = (-b-c-d)+bX+cX² +dX^3 = b(X-1) + c(X² - 1) + d(x^3 -1)
Si on pose e1(X) = X - 1 ; e2(X) = X² - 1 ; e3(X) = X^3 - 1, la famille (e1, e2, e3) est une famille génératrice de F et il est facile de voir qu'elle est libre, donc elle forme une base de F. Il te reste à construire à partir de cette base une base orthonormée.

Si c'est pas clair n'hésite pas à revenir

Salut raph 107
je te remercie pour ta reponse
bien j'ai essayé de construire la base orthonormé mais je bloque, algebre lineaire c quelque chose d'indigeste pour moi, tu peux m'en dire plus stp
merci

[raph107]

Salut raph 107
je te remercie pour ta reponse
bien j'ai essayé de construire la base orthonormé mais je bloque, algebre lineaire c quelque chose d'indigeste pour moi, tu peux m'en dire plus stp
merci

Pour le 1 er vecteur on prend e1 et on le normalise ce qui donne:
f1 = e1/||e1|| = (X-1)/Rac(2) = (-1/Rac(2)) + Rac(2)*X. Pour le second on pose f'2 = e2 + t*f1, et on détermine t qui verifie = 0 et ensuite on normalise f'2 en posant f2= f'2/||f'2|| et enfin pour construire le 3ème vecteur de la base on pose:
f'3 = e3 + s*f1 + t*f2 et on détermine s et t qui satisfont aux conditions = 0 et = 0 et enfin on pose f3 = f'3/||f'3||

Je te laisse faire les calculs qui ne sont pas difficiles mais pénibles à transcrire en te rappelant la définition du produit scalaire euclidien sur R3[X]:
si P(X) = a0 + a1X + a2X² + a3X^3 et Q(X) = b0 + b1X + b2X² + b3X^3 alors = a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
||P|| = Rac(a0² + a1² + a2² + a3²)

[dubus]

Pour le 1 er vecteur on prend e1 et on le normalise ce qui donne:
f1 = e1/||e1|| = (X-1)/Rac(2) = (-1/Rac(2)) + Rac(2)*X. Pour le second on pose f'2 = e2 + t*f1, et on détermine t qui verifie = 0 et ensuite on normalise f'2 en posant f2= f'2/||f'2|| et enfin pour construire le 3ème vecteur de la base on pose:
f'3 = e3 + s*f1 + t*f2 et on détermine s et t qui satisfont aux conditions = 0 et = 0 et enfin on pose f3 = f'3/||f'3||

Je te laisse faire les calculs qui ne sont pas difficiles mais pénibles à transcrire en te rappelant la définition du produit scalaire euclidien sur R3[X]:
si P(X) = a0 + a1X + a2X² + a3X^3 et Q(X) = b0 + b1X + b2X² + b3X^3 alors = a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
||P|| = Rac(a0² + a1² + a2² + a3²)

Salut RAPH107 je vais éssayer, je te remercie beaucoup