Algebre lineaire

[bentaarito]

a-t-on
si oui comment montrer la deuxième inclusion
( j'ai essayé avec le théorème du rang mais ça m' a pas donné grand chose )

[tototo]

a-t-on
si oui comment montrer la deuxième inclusion
( j'ai essayé avec le théorème du rang mais ça m' a pas donné grand chose )

Bonjour,

B^T*B=B^2 sauf si B={1...1}

[bentaarito]

Bonjour,

B^T*B=B^2 sauf si B={1...1}

je comprends pas ton indication
B est une matrice m*n j ai oublié de préciser

[bentaarito]

up........

[wserdx]

Tout ce qu'on peut dire c'est

Pour l'égalité, il faut des conditions de positivité.
Exemple

On a .
Donc ici

[bentaarito]

Supposant que notre matrice B est positive. Comment ce-là peut il nous assurer l'égalité des images? je vois pas :hum:

[wserdx]

Ce que je disais, c'est que la réponse à ta première question est non avec un exemple à l'appui, pris dans les matrices à coefficients complexes.
Je vais regarder s'il existe un résultat plus précis pour les matrices réelles.

[bentaarito]

oui restons dans le cas des matrices réelles.
je veux savoir si on a un résultat du type, avec éventuellement des conditions de positivité sur B.
( je rappelle que B dans mon cas n'est pas forcément carrée)

[wserdx]

Oui, en effet dans les réels le produit scalaire est une forme définie positive.
Si alors soit et donc .
On en déduit .

[Luc]

Oui, en effet dans les réels le produit scalaire est une forme définie positive.
Si alors soit et donc .
On en déduit .

La matrice est carrée, symétrique et définie positive si je ne me trompe pas.

[wserdx]

Carrée et symétrique, oui. A priori seulement positive. Elle sera de plus définie si le rang de B est égal à son nombre de lignes (si B n'est pas carrée)

[Luc]

Carrée et symétrique, oui. A priori seulement positive. Elle sera de plus définie si le rang de B est égal à son nombre de lignes (si B n'est pas carrée)

merci! je n'ai vraiment pas l'habitude des matrices rectangulaires

[bentaarito]

Oui, en effet dans les réels le produit scalaire est une forme définie positive.
Si alors soit et donc .
On en déduit .

ça ça montre que ( l'autre inclusion étant immédiate)
je vois pas comment peut on comparer car à priori B n'est pas carrée donc
les deux ensembles ne sont pas dans le même espace.
D'ailleurs celà ne mène pas au résultat cherché qui est

[wserdx]

ça ça montre que ( l'autre inclusion étant immédiate)
je vois pas comment peut on comparer car à priori B n'est pas carrée donc
les deux ensembles ne sont pas dans le même espace.
D'ailleurs celà ne mène pas au résultat cherché qui est

Il faut raisonner sur les dimensions des espaces, en plus des inclusions.
Si est le nombre de lignes de (= nombre de colonnes de ) et le nombre de colonnes de (= nombre de lignes de ) alors


D'autre part car et ont le même rang.

[bentaarito]

Il faut raisonner sur les dimensions des espaces, en plus des inclusions.
Si est le nombre de lignes de (= nombre de colonnes de ) et le nombre de colonnes de (= nombre de lignes de ) alors


D'autre part car et ont le même rang.

Je vois toujours pas comment ça montre :hum:
D'ailleurs je comprends pas pourquoi on a ces deux lignes :

[wserdx]

Je vois toujours pas comment ça montre :hum:
D'ailleurs je comprends pas pourquoi on a ces deux lignes :

c'est le théorème du rang.
J'aurais pu l'écrire ainsi:



on a donc

[bentaarito]

Je comprends toujours pas pourquoi

[wserdx]

Je comprends toujours pas pourquoi

Parce que et ont le même rang.