DM algèbre linéaire

[juliette88]

Bonjour,

j'ai un dm d'algèbre mais je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Déterminer la suite d'élements (xn,yn,zn,tn) qui vérifie :

xn+1=-xn+yn+zn
xn+1=-xn+2yn+zn-tn
xn+1=5xn-3yn-2zn+5tn
xn+1=4xn-2yn-2zn+3tn

et (x0,y0,z0,t0)=(1,2,-1,1).

(la matrice A
-1,1,1,0
-1,2,1,-1
5,-3,-2,5
4,-2,-2,3)

(on a Xn=AX0
n'est ni diagonalisable ni décomposable et je ne sais vraiment pas ce que je peux faire d'autre.
J'attends vos réponses!)
Merci d'avance

[Maxmau]

Bonjour,

j'ai un dm d'algèbre mais je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Déterminer la suite d'élements (xn,yn,zn,tn) qui vérifie :

xn+1=-xn+yn+zn
xn+1=-xn+2yn+zn-tn
xn+1=5xn-3yn-2zn+5tn
xn+1=4xn-2yn-2zn+3tn

et (x0,y0,z0,t0)=(1,2,-1,1).

(la matrice A
-1,1,1,0
-1,2,1,-1
5,-3,-2,5
4,-2,-2,3)

(on a Xn=AX0
n'est ni diagonalisable ni décomposable et je ne sais vraiment pas ce que je peux faire d'autre.
J'attends vos réponses!)
Merci d'avance

Bj
Quel est le polynôme caractéristique ?

[ev85]

Bonjour,

j'ai un dm d'algèbre mais je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Déterminer la suite d'élements (xn,yn,zn,tn) qui vérifie :

xn+1=-xn+yn+zn
xn+1=-xn+2yn+zn-tn
xn+1=5xn-3yn-2zn+5tn
xn+1=4xn-2yn-2zn+3tn

et (x0,y0,z0,t0)=(1,2,-1,1).

(la matrice A
-1,1,1,0
-1,2,1,-1
5,-3,-2,5
4,-2,-2,3)

(on a Xn=AX0
n'est ni diagonalisable ni décomposable et je ne sais vraiment pas ce que je peux faire d'autre.
J'attends vos réponses!)
Merci d'avance

Bonjour Juliette,

Je suppose qu'il s'agit de

et .

[hammana]

Bonjour,

j'ai un dm d'algèbre mais je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Déterminer la suite d'élements (xn,yn,zn,tn) qui vérifie :

xn+1=-xn+yn+zn
xn+1=-xn+2yn+zn-tn
xn+1=5xn-3yn-2zn+5tn
xn+1=4xn-2yn-2zn+3tn

et (x0,y0,z0,t0)=(1,2,-1,1).

(la matrice A
-1,1,1,0
-1,2,1,-1
5,-3,-2,5
4,-2,-2,3


(on a Xn=AX0
n'est ni diagonalisable ni décomposable et je ne sais vraiment pas ce que je peux faire d'autre.
J'attends vos réponses!)
Merci d'avance

Je pense qu'il faut d'abord chercher les valeurs propres m qui annulent la matrice

Code: Tout sélectionner

-1-m       1          1        0
-1        2-m        1        -1
5         -3       -2-m       5
4         -2         -2      3-m


en retranchant la dernière colonne de la première on met en évidence les facteurs (m+1)(m-1)
Je trouve finalement une racine simple m=-1 et une racine triple m=1 (ce n'est pas sûr, je dois encore vérifier)
Après vérification il semble que les valeurs propres ci dessus sont correctes et
que la matrice n'est pas diagonisable.
En calculant les valeurs successives de x,y,z,t, on trouve respectivement

Code: Tout sélectionner

1,2,-1,1
0,1,6,5
7,3,10,1
6,8,11,5
13,16,9,1
12,27,4,5
19,41,-4,1
18,58,-15,5
25,78,-29,1
24,101,-46,5
31,127,-66,1

etc...


on remarque que
t prend alternativement les valeurs 1,5,1,5 etc
les valeurs succesives de x s'obtiennent en retranchant 1 puis ajoutant 7
les différences entre valeurs successives de y forment (à partir d'un certain rang) une progression arithmétique de raison 3
les différences entre valeurs successives de z forment (à partir d'un certain rang) une progression arithmétique de raison -3
Il semble qu'il faille chercher la solution en établissant des relations de récurrence ...

On peut expliquer tout de suite ce qui se passe pour t, en multipliant la matrice par ele-même on trouve pour dernière ligne:

Code: Tout sélectionner

0    0    0    1


t reprend la même valeur avec une périodicité de 2