Algebre lineaire

par **Anonyme** » 19 Fév 2006, 16:17

Bonjour d'abord
Est ce qu'on peut dire que la base d'un espace vectoriel est la plus petite famille generatrice et aussi la plus grande famille libre ?
et j'ai une autre question : comment calculer le rang d'une matrice.
Et merci d'avance

par **leibniz** » 19 Fév 2006, 17:56

Salut,
[Ton espace vectoriel est de dimension finie n]

Oui, puisque toute famille de cardinal supérieur à n est liée et toute famille de card inférieur à n n'est pas génératrice.

A+

par **redwolf** » 19 Fév 2006, 18:46

Bonsoir.

On ne peut pas vraiment dire ça, parce que "la base" ça suppose qu'il n'y en a qu'une. Il faut dire "une base" car il y en a toujours plusieurs (sauf dans un cas vraiment très particulier).
Mais on peut dire : "une base est une famille libre maximale" ou "une base est une famille génératrice minimale".

par **quinto** » 19 Fév 2006, 18:51

leibniz a écrit:[Ton espace vectoriel est de dimension finie n]

Non, pourquoi ce serait le cas?

par **leibniz** » 19 Fév 2006, 18:58

Salut,

Pour dire qu'il est "petite" ou "grande", sinon ça sera petit au sens de quoi?

Merci pour l'information.

A+

par **quinto** » 19 Fév 2006, 19:09

leibniz a écrit:Salut,

Pour dire qu'il est "petite" ou "grande", sinon ça sera petit au sens de quoi?

Merci pour l'information.

A+

Au sens de l'inclusion.
Si tu ajoutes un élément à une famille F, tu obtiens une famille F' telle que F inclus dans F'.
La famille F' est plus grande que la famille F.

Un résultat intéressant:
Si X est un espace vectoriel sur k, et que B et B' sont des bases de X, alors B et B' ont le même cardinal.

A+

par **leibniz** » 19 Fév 2006, 19:14

B et B' doivent être finies pour parler du cardinal, non?.

Merci.

par **quinto** » 19 Fév 2006, 19:31

leibniz a écrit:B et B' doivent être finies pour parler du cardinal, non?.

Merci.

Non pas nécessairement.
A et B ont le même cardinal si et seulement si il existe une bijection de A vers B.
On peut définir d'une manière à peu près similaire, le fait que A ai moins d'éléments que B, et le fait que B ai plus d'éléments que A.

Aussi intuitif et évident que celà puisse parraitre, le fait que B ai plus d'éléments que A et le fait que A ai moins d'éléments que B, sont deux notions équivalentes.
En fait c'est le théorème de Cantor-Bernstein.
Si ca t'intéresse, je pense que Wikipedia, doit pouvoir t'en dire plus.
Sinon les maths.net

A+

par **leibniz** » 19 Fév 2006, 19:35

Merci beaucoup.

A+

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