Algèbre linéaire

par **MacManus** » 26 Aoû 2010, 22:34

Bonsoir.

est l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée de degré

3.

On considère le polynôme

On note

le reste de la division euclidienne de P par Q.

par exemple :

1. Montrer que r est une application linéaire.
2. Déterminer son noyau et un supplémentaire du noyau.
3. Donner la matrice A de

dans la base canonique.
4. Calculer A².
5. Déterminer

en fonction de

et

.

(où AB désigne le produit des deux polynômes A et B.)
6. Résoudre le système

.

J'aimerais comparer certains de mes résultats à celles et ceux qui voudront bien traiter l'exercice. En particulier l'expression de la matrice et les liens avec les dernières questions. Merci à vous!

par **Doraki** » 26 Aoû 2010, 22:58

T'es certain de la question 5 ?

par **MacManus** » 26 Aoû 2010, 23:03

5. Il était marqué au départ r(PQ) en fonction de r(P) et r(Q). Cet exercice m'a été remis par un ami et il avait barré le Q pour le remplacer par un autre polynôme quelconque. Du coup, j'ai un doute...

par **Doraki** » 26 Aoû 2010, 23:19

Ben les autres questions devraient être faisables quand même.

par **MacManus** » 26 Aoû 2010, 23:21

Déjà quelle matrice obtiens-tu? je ne suis pas tout à fait sûr...merci

par **Doraki** » 26 Aoû 2010, 23:29

Ben chais pas, j'trouve la matrice qui contient r(1), r(X), r(X²), et r(X^3), pas toi ?

par **MacManus** » 26 Aoû 2010, 23:34

si c'est ça. jvoulais être certains des coeff. Je trouve

par **Doraki** » 26 Aoû 2010, 23:43

ça ressemble pas du tout.
Par exemple chez moi, r(1) = 1, donc la première colonne c'est 1,0,0,0.

De plus en regardant l'image de P = X^3-X sur ta matrice, je trouve pas X²+2, alors que c'est un exemple donné dans l'énoncé.

par **MacManus** » 27 Aoû 2010, 00:14

je ne sais mm plus faire une division euclidienne de polynômes...
je ne vois pas comment tu procèdes.

par **girdav** » 27 Aoû 2010, 08:02

Pour les images de

,

et

, on divise un polynôme de degré strictement inférieur à

par un polynôme de degré

. Pour des raisons de degré, le quotient est dans ce cas nécessairement nul.

par **Finrod** » 27 Aoû 2010, 08:21

@Doraki

Pour la 5), c'est pas

?

par **MacManus** » 27 Aoû 2010, 15:12

girdav a écrit:Pour les images de , et , on divise un polynôme de degré strictement inférieur à par un polynôme de degré . Pour des raisons de degré, le quotient est dans ce cas nécessairement nul.

Oui ça paraît évident, mais j'ai mis le temps pour le voir...
La matrice A est de la forme :

et on a : A² = A (projection) ce qui justifierait vos remarques sur la question 5.

par **Doraki** » 27 Aoû 2010, 15:59

Macmanus, c'est la bonne matrice.

Le problème de la question 5, c'est que formellement, on a défini l'application r seulement sur les polynômes de degré <= 3. Et on peut faire beaucoup de produits A*B dont le degré est plus grand que 3.

Si on définit r sur R[X] en entier, là ça a un sens de demander r(A*B) en fonction de r(A) et r(B).

par **MacManus** » 27 Aoû 2010, 16:52

Ok je suis entièrement d'accord avec ta remarque. C'est vrai que cette question est mal formulée : on ne précise justement pas à quels e.v appartiennent ces deux polynômes. Mais dans le cadre général R[X], la matrice A de notre application linéaire n'aurait plus raison d'être... (mais bon ça n'empêche pas de chercher c'est vrai)
Mais alors la remarque de Finrod ne peut pas fonctionner non plus...pour la même raison que tu invoques.

par **MacManus** » 27 Aoû 2010, 22:19

6. La matrice A n'est même pas inversible car son déterminant est nul et de plus elle est de rang 3. Le système comporte 3 équations à 4 inconnues.

par **Doraki** » 27 Aoû 2010, 23:45

Et donc ... ?

par **MacManus** » 27 Aoû 2010, 23:58

Donc pas de solution pour ce système.
Sinon pour la 5. je vais réfléchir...

Merci beaucoup .

par **Doraki** » 28 Aoû 2010, 09:09

Même pas la solution 1+X+X² ?

par **MacManus** » 28 Aoû 2010, 11:11

Oui pour d=0 (si d correspond au coefficient de X^3)
dans ce cas a=b=c=1 et 1+X+X² est solution (où les réels a,b et c sont respectivement les coefficients de 1, X et X²)

par **Doraki** » 28 Aoû 2010, 11:43

Et y'aurait pas d'autres solutions ?

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