Algébre linéaire : révisions

[Ncdk]

Bonsoir,

Je révisais mon début de semestre et je me suis posais une question :

Si une application linéaire u est une base, alors est-ce que la dimension de noyau est forcément nul ?

En fait j'avais une matrice où et sont des bases canoniques, et ma matrice prenait cette forme : ensuite et

J'ai déterminer l'application

Donc on me demande dim ker u, alors je résous u(x,y,z)=0, on sait que donc on s'intéresse au reste de l'équation puis on obtient donc ça me prouve que c'est une base et que la dimension du noyau est nul car seul 0 compose le noyau.

Alors je me posais donc la question ci-dessus

[zygomatique]

salut

Si une application linéaire u est une base

ne veut rien dire ...

[Mikihisa]

Prenons l'application constamment nulle, si e1...en est une base, f(e1)...f(en) = 0,...,0 n'est pss une base.

[Mikihisa]

Je pense que si f est injective, f(B) est libre, et si f est surjective donc bijective on aura une base j'imagine

[reyo94]

bon j'ai une petit probleme concernant chapitre application lineaire

Comment calculer dim(ker(f) et dim(im(f))

f est surjictive si dim E = dime F = n constante nespa ?


Merci d'avance..

[Mikihisa]

Bah un moyen simple et efficace c'est de poser directement l'équation f(x)=0 puis de résoudre le système d'equation associer. Ça te donne les équation du noyaux.

Sinon calcul le rang de la matrice (échelonnage de la matrice) pour en déduire la dimension de l'image puis la dimension du noyaux en appliquant le théorème du rang.

[paquito]

salut

ne veut rien dire ...

une application linéaire en dimension finie est définie par l'image d'une base , ce qui te donnes la matrice associée; mais tout peut arriver! ici tu as en gros une application linéaire d'un E.V. de dimension 3 dans un E.V. de dimension 4 (ou alors je ne comprends rien à ce que tu écris), mais ce n'est pas parce que et forment une base que le noyau est réduit au vecteur nul;
exemple: ; et
; étant une base, on a:

x+2y=0
z=0, donc le noyau est de dimension 1; de toute façon u ne peut pas être surjective en plus donc fais comme on t'a dit, résous des systèmes linéaires et évite d'inventer des curiosités.