Algebre Linéaire (projection)

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bruno82
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Algebre Linéaire (projection)

par bruno82 » 03 Jan 2018, 03:01

Je ne vois pas comment montrer ça :

Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de en somme directe et la projection sur U parallelement à V. On a donc si
Montrer qu il existe une base de telle que la matrice de relativement a la base soit diagonale.

Quelqu'un?



pascal16
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Re: Algebre Linéaire (projection)

par pascal16 » 03 Jan 2018, 09:41

en dimension 3, U et V sont de dimension 1 et 2. Il y a 2 cas à traiter

Pseuda
Habitué(e)
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Re: Algebre Linéaire (projection)

par Pseuda » 03 Jan 2018, 11:28

Bonjour,

Par définition, U et V sont supplémentaires dans R^n. Si on appelle B1 une base de U, et B2 une base de V, alors la famille B0 constituée des vecteurs de B1 et de B2 (mis à la suite) est une base de R^n, et dans cette base, la projection pi a pour matrice une matrice diagonale constituée de 1 (autant que la dimension de U) et de 0 (autant que la dimension de V).

Avec n=3, il y a quelques cas à traiter dont 2 triviaux (U ou V nul) et 2 qui ne le sont pas : projection sur un plan //nt à une droite, projection sur une droite //nt à un plan.

 

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