Algebre lineaire - polynome caract

[Vlad-Drac]

Bonjour. voila j'ai quelque questions. pour commencer,

sur la matrice

(3 1 1 1)
(1 3 -1 1) * 1/2
(2 0 2 2 )
(2 0 -2 4)

quelle est la technique la plus rapide ? perso j'aplique le 1/2 sur tous les coeficient de la matrice puis je fait apparaitre des zero avant de developper.
en fait je cherche a savoir si il ya un moyen d'appliquer le 1/2 sur le determinant en cour de calcul...
je ne pense pas car le polynome caracteristique est donné par det(A-XI) ducoup on est obligé d'aplique le 1/2 avant de soustraire XI non ?

ensuite, je suis tombé sur cette formule :
polynom Caract = (-1)^n . Pi (j=1 juskà k ) (X - Lj) ^nLj ou n est lordre de la matrice , L une valeur propre.
ce qui m'embete dans cette formule c'est le -1 ^n . faut il calculer le polynome caracteristique, puis, faire sortir le signe corespondant ? ou alors appliquer un signe avant de commencer son calcul du polynome caracteristique ? je ne sais pas si je suis tres clair.

par exemple si jai une matrice A (3x3) je cherche le Pc, est ce que je calcul :

-1*det(A-XI)

ou bien

det(A-XI) admettons que j'obtien le Pc suivant : (X-2)(X-1)² => -1* (2-X)(X-1)²

[Mortelune]

Bonsoir, le déterminant est une forme multilinéaire donc
De même .
Donc au final tant que tu n'oublies pas le tu fais comme tu le sens.

polynom Caract = (-1)^n . Pi (j=1 juskà k ) (X - Lj) ^nLj ou n est lordre de la matrice , Lj une valeur propre.

Cette formule est celle que tu dois avoir habituellement dans ton déterminant tu as du (Lj-X)^nLj avec nLj l'ordre de multiplicité de la valeur propre Lj et tu multiplies par -1 pour l'avoir dans le sens de la formule, et tu le fais n fois pour chaque (Lj-X) et tu retombes sur le formule en regroupant les Lj identiques.

[Vlad-Drac]

merci bcp pour ta reponse le 1er point est maintenant clair. pourrait tu me donner un exemple pour la formule ?