Algèbre: espaces supplémentaires

[Malavon Despana]

voila l'intitulé : soit A une matrice de M5(R) telle que A+A^3=0, montrer que ker(A) et ker(A^2+I) sont supplémentaires (pour la somme dicrecte c'est facile mais pour montrer qu'ils engendrent R5 je ne sais pas comment faire), merci d'avance !

[Maxmau]

voila l'intitulé : soit A une matrice de M5(R) telle que A+A^3=0, montrer que ker(A) et ker(A^2+I) sont supplémentaires (pour la somme dicrecte c'est facile mais pour montrer qu'ils engendrent R5 je ne sais pas comment faire), merci d'avance !

Bonjour
Applique "Bezout" aux 2 polynômes X et X²+1
puis fais X=A

[john32]

C'est quoi déjà l'égalité de Bezout. C'est pas un truc avec les nombres premiers ?

[Maxmau]

C'est quoi déjà l'égalité de Bezout. C'est pas un truc avec les nombres premiers ?

On a l'analogue avec les polynômes
Ici les polynômes X et X²+1 étant premiers entre eux, il existe des polynômes S et T tels que XS(X)+(X²+1)T(X) = 1 ( ici il est d'ailleurs très facile de préciser S et T)
En remplaçant X par la matrice A, tu obtiens; AS(A)+(A²+1)T(A)=I où I est la matrice identité.
Tu peux en déduire une expression de V (vecteur colonne de R^5) sous la forme V = V' + V'' où V' est dans Ker(A²+I) et V'' dans KerA

N'oublie pas que les matrices P(A) et Q(A) où P et Q sont 2 polynômes qq, commutent toujours