Algebre, endomorphisme

par **ditans** » 25 Aoû 2009, 19:44

bonsoir,

J'ai un petit souci concernant un exercice d'algebre.

L'énoncé:
Soit

définie par f(P)=X²P' - 3XP. Démontrer que f est un endomorphisme de

. Ecrire la matrice de f dans la base canonique de

et trouver son image et son noyau. Préciser le rang de f.

Je me demande s'il est necessaire de montrer que f est linéaire? Ensuite je sais qu'il faut montrer que F va de E VERS E (endomorphisme).
Je voulais le démontrer en utilisant les degrès.
deg P'

deg P

donc par conséquent ..
mais je sais pas si ca tient la route, j'ai meme un gro doute ^^'

merci!

par **girdav** » 25 Aoû 2009, 20:18

Bonsoir.

Je me demande s'il est necessaire de montrer que f est linéaire

Oui.
Il faut montrer aussi que l'image par

d'un polynôme de degré inférieur ou égal à

est encore un polynôme de degré inférieur ou égal à

. Calcule

pour comprendre pourquoi ça marche.

par **ditans** » 25 Aoû 2009, 20:37

oui donc il faudrait montrer que f(P) est de la même degres que X²P' -3XP ... ?

par **girdav** » 25 Aoû 2009, 20:44

Ca peut ne pas être le cas (si ça fait baisser d'un degré par exemple).
Que donne le calcul de

?

par **ditans** » 25 Aoû 2009, 21:00

girdav a écrit:Ca peut ne pas être le cas (si ça fait baisser d'un degré par exemple).
Que donne le calcul de ?

fin ca fait 0 =S
c'est pas ca que tu voulais dire ?

par **girdav** » 25 Aoû 2009, 21:07

Si. Puis

? Et par linéarité tu prouves ce qu'il faut.

par **ditans** » 25 Aoû 2009, 21:20

girdav a écrit:Si. Puis ? Et par linéarité tu prouves ce qu'il faut.

et là ca suffit pour dire que f est un endomorphisme ? Fin je comprends pas, il faut quand même que F(p) est de meme degres, sinon f n'est pas un endomorphisme si ?
et ensuite je montre que f est linéaire

par **euler21** » 26 Aoû 2009, 02:52

Salut:
je pense que la difficulté dans cet exercice vient du fait de la double question: linéarité et "stabilité". Par stabilité je veux dire que l'image de ton application appartient aussi à R3.
Pour la linéarité je pense que tu dois juste revoir ton application: elle est composé de deux termes, il suffit de vérifier alors leurs linéarités. Quant à la stabilité, si tu parviens à démontrer que l'image des éléments de la base canonique appartiennent toujours à R3 tu pourras conclure.

par **ditans** » 26 Aoû 2009, 09:00

oui justement je ne sais pas comment justifier cela ... =S je cherche je cherche ... et je ne trouve pas ^^ je pensais avec les degres mais apparament ce n'est pas ca je pense

par **girdav** » 26 Aoû 2009, 09:11

Tu peux calculer

et montrer que c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à trois.

par **ditans** » 26 Aoû 2009, 10:30

bref, si je simplifie etc, je trouve un polynome de degres 5 non ? =S
merci en tout cas de m'aider, je suis perdue j'ai limpression!

par **abcd22** » 26 Aoû 2009, 10:52

Bonjour,

ditans a écrit:

Attention, ça n'a pas de sens de comparer des polynômes.

par **girdav** » 26 Aoû 2009, 10:53

ditans a écrit:

bref, si je simplifie etc, je trouve un polynome de degres 5 non ? =S
merci en tout cas de m'aider, je suis perdue j'ai limpression!

Attention, c'est

et non

comme tu l'as écrit.

par **abcd22** » 26 Aoû 2009, 11:02

ditans a écrit:

Il manque un « ' ».
X²P' et 3XP sont de degré au plus 4, pour montrer que f va bien de

dans

il suffit de calculer le coefficient qui est devant X^4 (et de montrer qu'on trouve bien 0), ce n'est pas la peine de faire tout le calcul.

par **ditans** » 26 Aoû 2009, 11:24

ah oui en effet, je trouve bien un polynome de degres 3! merci beaucoup!

pour l question suivante c'est-à-dire:
ecrire la matrice de f dans la base canonique de

ce que j'ai fait c'est que je pose

et pour avoir la matrice je remplace les resultats dans la matrice (par la verticale)

je sais pas si on a le droit de poser Bc=..... etc

merci!

par **Ericovitchi** » 26 Aoû 2009, 11:33

et pour avoir la matrice je remplace les resultats dans la matrice (par la verticale)

Pas très clair ça comme question.

Il faut que quand tu multiplies la matrice que tu cherches par le vecteur (1,0,0,0) par exemple tu retrouves (-3,0,0,0) donc

devrait faire l'affaire.

par **ditans** » 26 Aoû 2009, 11:39

Ericovitchi a écrit:Pas très clair ça comme question.

Il faut que quand tu multiplies la matrice que tu cherches par le vecteur (1,0,0,0) par exemple tu retrouves (-3,0,0,0) donc
devrait faire l'affaire.

j'avais trouvé cela, car

et comme cest

cest donc un rang en dessous ?
merci

par **Ericovitchi** » 26 Aoû 2009, 11:42

ha oui tu as tout à fait raison, j'ai écris trop vite et pas vu le décalage.

par **ditans** » 26 Aoû 2009, 11:51

ce n'est pas grave!
par contre ensuite, on me demande de calculer le noyau et l'image

d'apres la matrice, on peut peut-être écrire:

ce qui voudrait dire que Kerf=((0,0,0))
Mais l'expression de

me semble assez bizarre!, souvent dans d'autres exercices j'ai toujours un truc un peu plus complexe.

par conséquent pour l'image, dim Imf=3...

merci

par **girdav** » 26 Aoû 2009, 11:53

Attention,

est de dimension 4, donc

prend en entrée un vecteur à quatre coordonnées.

Algebre, endomorphisme

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