[Résolu] D'Alembert-Gauss et intégrales à paramètres

[Restefond34]

Bonjour !

Je suis en PC et je dois démontrer le théorème de D'Alembert-Gauss en application du chapitre sur les intégrales à paramètres. Le voici.



Je pense avoir compris l'architecture du problème, le souci, c'est dans la justification propre des régularités. D'abord, on prouve qu'elle est C1, puis sa dérivée devrait être nulle, d'où la constance. En calculant les limites, on obtient respectivement 0 (car P ne s'annule pas) et 1/a_n où a_n est le dominant de P (légitime car P est de degré n), différent de 0, ce qui permet de contredire la constance de F (car elle aurait deux limites distinctes).
Pour la question 1 déjà, j'ai du mal parce que P est au dénominateur, donc ça compromet toute inégalité triangulaire. J'étais parti pour montrer la C1 sur tout [0,a] pour a>0 : on majore le numérateur grossièrement par des constantes avec l'IT (vu qu'on intègre ensuite sur un segment, ce n'est pas gênant) mais pour le dénominateur, impossible...
Pour la question 2, je suis freiné par la forme de la dérivée de F, qui n'a absolument pas une tête à s'annuler. J'ai tenté de repasser avec l'expression développée d'un polynôme, en vain, ça ne simplifie rien du tout.

Auriez-vous des pistes supplémentaires qui pourraient me débloquer ?

[Ben314]

Salut,
Comme tu le dit toi même, cette preuve du théorème fondamental de l'algèbre elle utilise les intégrales à paramètres et ça serait pas totalement idiot d'utiliser les résultat classiques de cette branche des mathématiques.
Bref, concernant le fait que la fonction F de cet exercice est de classe sur il faut bien évidement utiliser le théorème (*) que tu as vu en cours qui te dit que, sous certaines hypothèses concernant la fonction la fonction est de classe sur l'intervalle .
Quelles sont ces hypothèses ?
Sont elles vérifiées ici ?

(*) Très souvent (mais pas toujours) appelé "théorème de dérivation sous le signe somme"

[Restefond34]

Bonjour,
Il dit que:
- si pour tout x, f(x,.) est continue et intégrable sur [a,b]
- si pour tout t, f(.,t) est intégrable est de classe C1,
- si pour tout x, df/dx(x,.) est continue par morceaux,
- si il existe g positive et intégrable tel que pour tout t, x, |df/dx(x,t)| <= g(t)
Alors F est de classe C1 et sa dérivée est donnée par l'intégrale de df/dx sur [a,b]

Je me suis mal exprimé quand je m'expliquais. Quand j'ai dit que j'avais du mal, c'était dans le cadre de la vérification des hyothèses pour dominer la dérivée partielle par rapport à r. Là, il suffit de borner cette dérivée (vu qu'on est sur un segment).
J'utilise le corollaire de ce théorème où on étudie sur un segment [0,c] de I = R_+.
Mais on a quelque chose qui fait intervenir du 1/P et du P'/P^2. Et autant le P' se gère si r appartient à [0,c] (en prenant la somme des k|a_k|c^k qui est une constante). Mais c'est pour borner le P et le P^2 que je rencontre des difficultés. Je sais les majorer, mais comme ils sont au dénominateurs, il faudrait que je puisse les minorer...

[Ben314]

Si tu as fait un minimum de topologie, c'est simple : le pavé est un compact de sur lequel la fonction est continue donc elle atteint ces bornes et, comme pour tout , sa borne inférieure (atteinte) est un certain réel .

[Restefond34]

On a fait tous les espaces vectoriels normés et donc la topologie mais la notion de compacité n'est pas au programme de PC (notre prof qui enseignait en MP le regrette tout le temps et nous en a quand même rapidement parlé mais c'est un exo d'oral de PC qui ne doit pas utiliser de hors-programme)...
On ne peut pas s'en passer selon vous ?...

C'est l'énoncé tel qu'il l'a écrit en tout cas... La fonction que vous proposez permet de prouver D'Alembert-Gauss ?

[LB2]

Je pense que le fait qu'une fonction continue sur un pavé de R^2 est bornée et atteint ses bornes est au programme de PC. Pas besoin de définir la notion de partie compacte (même si en dimension finie, ce sont les fermés bornés, donc c'est assez simple).

Cordialement

[aviateur]

Bonjour
Il y aurait bien une erreur dans l'énoncé. Néanmoins on peut utiliser cette intégrale pour arriver au résultat mais F(r) n'est pas constante. Vu les questions
on a surement
Alors on a :

Cette dernière intégrale est nulle puisque h(r,t) est 2 pi périodique.
ainsi F(r)=cste. La contradiction vient avec les limites en 0 et l'infini

[Restefond34]

Bonjour,
Merci pour vos réponses. Je récapitule...

Donc, en utilisant le théorème admis sur le fait qu'on puisse borner, je n'ai plus effectivement aucun problème. Cela m'assure donc la classe C1 et donc la question 1.
Pour la question 2, je fais comme propose aviateur pour obtenir l'équation écrite, puis en utilisant le théorème fondamental de l'analyse et la périodicité de h, j'obtiens F' = 0 sur R+ donc F = constante.
Cela entre en contradiction avec les limites déjà trouvées.
Cela me permet d'en déduire enfin le théorème de D'Alembert-Gauss !

Cela dit en fait, maintenant que j'y pense, il me semble qu'on a vu qu'une fonction continue sur un pavé atteignait effectivement ses bornes (démonstration par Bolzano-Weierstrass en dimension 1). Désolé d'avoir induit en erreur !

[Ben314]

. . . on a surement

Perso, j'ai plus que de gros doutes concernant le fait qu'avec un dans la définition de on ait .
Sans trop regarder les détail (mais en visualisant le truc sous forme d'intégrale complexe), j'aurais bien dit qu'il fallait absolument un dans la définition de pour qu'elle soit constante.

[Restefond34]

Pourtant avec n, il me semble que cela fonctionne.
Avec la fonction que vous avez proposée, j'obtiens en effet ceci :


https://postimg.cc/xJcT8ZRc

[aviateur]

Sans trop regarder les détail (mais en visualisant le truc sous forme d'intégrale complexe), j'aurais bien dit qu'il fallait absolument un dans la définition de pour qu'elle soit constante.

D'une part je ne vois pas pourquoi tu as un "gros" doute
car (quand on met le facteur )
Ce qui fait qu'une fois les interversions dérivées et intégrales sont justifiées on a F'(r)=0.
D'autre part si on veut mettre le facteur il faut mettre aussi le facteur (et non pas laisser ).
En résumé on a F'(r)=0 si on a mis au numérateur (quelque soit le naturel q, et en particulier lorsque q=n).
Maintenant je ne vois pas pourquoi l'intégrale complexe associée te fait émettre des doutes. C'est pas clair.
De toute façon on fait un raisonnement par contradiction et F(r) ne sera pas constante en général et même pas définie dans certains cas.

Remarque 1: Même avec la fonction h(r,t) donnée dans l'énoncé on peut aboutir au résultat mais F(r) n'est pas constante et il faut changer les questions.

Remarque 2. J'essaye de corriger la fonction h(r,t) pour que la fonction F(r) soit en adéquation avec les questions suivantes.
C'est le cas pour avoir F'(r)=0 et puis avec le facteur au numérateur
on a limite F(r)=0 quand r tend vers 0 et quand r tend vers l'infini.
Il me semble bien que c'est la rectification qu'il fallait apporter.

[aviateur]

Pourtant avec n, il me semble que cela fonctionne.
Avec la fonction que vous avez proposée, j'obtiens en effet ceci :

En regardant vite fait il me semble que c'est correct.

[Ben314]

D'autre part si on veut mettre le facteur il faut mettre aussi le facteur (et non pas laisser ).

Oups, c'est effectivement ça que j'avais lu de travers (i.e. comme si c'était un au numérateur).
Bref, j'ai dit une connerie et c'est sûrement pas la dernière . . .

[aviateur]

Bonjour
Au niveau des conneries tu n'en dis pas souvent. Alors il n'y a rien de grave.

[Restefond34]

En tout cas, merci à tous les deux pour votre aide ! Ca faisait longtemps que je me demandais comment on pouvait démontrer ce théorème "simplement" et c'est fait !

[Ben314]

Juste une remarque : là, c'est un "joli" exercice d'intégrale à paramètre, mais je dirais vraiment pas que ce soit une méthode "simple" pour démontrer que C est algébriquement clos.
A mon sens, toutes les méthode utilisant de l'analyse (*) utilisent le fait qu'une fonction continue sur un compact atteint ces bornes (et ici tu en a effectivement besoin). Sauf que, une fois ce résultat connu, du fait que |P(z)|->+oo lorsque |z|->+oo tu en déduit qu'il existe un zo dans C tel que |P(zo)| soit le min. de |P(z)| sur C. Et arrivé à ce point, il suffit d'écrire qu'on a P(zo+h)=P(zo)+lambda.h^k+o(h^k) pour un certain entier k et un certain lambda non nul pour voir que, si P(zo) était non nul, il existerait un (petit) h qui fait diminuer |P(zo+h)| ce qui contredirait la minimalité de |P(zo)|. Donc on a forcément P(zo)=0.

(*) Il y a aussi des méthodes plus algébriques où la seule partie "analyse" se résume au fait que tout polynôme à coeff. réels et de degré impair admet au moins une racine dans R.