Aide à la résolution d'une intégrale ? Merci !

[Ptiboudelard]

Bonjour à tous !

Voilà, j'ai un petit souci :

J'ai cette intégrale à calculer ( et compte tenu de l'exercice duquel elle est tirée, j'ai toutes les raisons de croire qu'il ne faut pas passer par une intégration par parties ou par un changement de variable ). Or, je ne vois pas comment faire autrement ( bien que je ne vois pas non plus où me mèneraient les deux méthodes citées précédemment, lol ) :



Je vous remercie pour votre aide !!!

[Ben314]

Salut,
Je pense que tu ne peut pas exprimer le résultat sans utiliser la fonction "gaussienne" qui te fournit une primitive de t->exp(-t²/2)...
(Ensuite, le résultat pourra se lire dans une table)

[Ptiboudelard]

euuuh, la fonction gaussienne ? Je ne vois pas ce que tu veux dire ( je n'ai jamais utilisé ce type de fonction .... ) la seul fonction à laquelle me fait penser cette intégrale, c'est la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite ... Est ce la même chose ? Le truc c'est que je ne peux pas utiliser "l'artifice" de la loi normale centrée réduite, car les bornes sont finies ( [1;2] ) ... Peux tu me dire ce qu'est la fonction gaussienne ? Je te remercie !

[Finrod]

On dit loi normale ou Gaussienne. C'est la même chose.

Fait une Ipp, tu auras une formule liant ton intégrale à la fonction de répartition.

[Ptiboudelard]

Ah ben j'aurai appris quelquechose dis donc ! :-) D'accord, je teste et je vous tiens au courant ! Merci !

[Ptiboudelard]

ca ne me mène malheureusement à rien .... je viens d'essayer ...

[Finrod]

Oui en effet, mauvaise idée.

Mais en fait si tu prend X un loi normale, ton intégrale (sans le coeff devant) vaut :



(chgt de variable en y=x-1)

[Ptiboudelard]

mais comment fais tu pour voir des esperances de loi normale centrée réduite alors que les bornes sont finies ? ( [1;2]

[Finrod]

J'ai ajouter la fonction indicatrice , nulle en dehors de l'intervalle sur lequel on intègre.

(J'ai oublié de normaliser, mais bon peu importe)

Pour l'instant, je ne vois pas où peut mener cette seconde idée.

[Ptiboudelard]

je teste ;-)

[Ptiboudelard]

ne fonctionne pas non plus ... c'est quand même bizarre ça !

[Finrod]

Bon ok.

Il faut faire le chgt de variable y=x-1 puis développer et faire un IPP pour l'integrale en y², avec la fonction y et la fonction (et primitiver la seconde)

Les espérance ne servent à rien.

[Ptiboudelard]

lol je vais m'amuser ;-) Merci pour ton aide, je te tiens au courant du résultat !

[Doraki]

l'intégrale de y exp(-y²/2) est simple à calculer ;
avec l'IPP on ramène l'intégrale de y² exp(-y²/2) à celle de 1*exp(-y²/2), il restera toujours à lire cette valeur dans une table.

[Ptiboudelard]

j'ai testé changement de variable suivi de IPP ... je tombe sur ça :


(pfffiou, moi qui ne suis pas un pro du TEX ... pas facile de rédiger lol )

Bref, la deuxième intégrale est immédiate car on connait une primitive, mais la première et la dernière ( qui sont identiques ) ne sont pas connues ...

[Ptiboudelard]

j'ai oublié de préciser qu'on ne nous a pas mis de table à disposition ...

[Finrod]

Ces intégrales ne sont pas calculables. Donc soit tu trouves une table sur le web, soit tu laisse comme ça.

[Ptiboudelard]

d'ac ! En tous cas merci encore pour ton aide ( et celle de Doraki ) !

A bientôt !

[Ben314]

Peut être peut tu regrouper celle de droite et de gauche !!!!
et surtout, comme doraki te l'a fait remarquer, celle du milieu est calculable...

[Ptiboudelard]

Oui oui! Pas de problème pour celle du milieu, mais regrouper les deux autres intégrales n'amène à rien de très interessant...