Actions de groupes

par **Nightmare** » 20 Sep 2010, 17:55

Hello,

je souhaiterai montrer que si G est un groupe agissant sur un ensemble X de cardinal au moins 2, et f(g) le nombre d'éléments de X fixes par g alors

Mon idée est de faire agir naturellement G sur X² puisque, sauf erreur, [f(g)]² correspond au nombre d'éléments de X² fixés par G. Alors par le lemme de Burnside,

Il me faudrait donc montrer qu'on a au moins 2 orbites, mais ceci me semble assez bizarre, notamment si l'action de G sur X est doublement transitive, alors on a qu'une seule orbite...

Où est l'erreur?

par **Doraki** » 20 Sep 2010, 18:40

Tu as confondu l'action de G sur X*X avec une action de G*G sur X*X ?
Il y a toujours au moins 2 orbites si |X|>1.

par **Nightmare** » 20 Sep 2010, 18:44

Doraki, effectivement il y a confusion de ce côté là et ça l'est toujours encore un peu. Pourquoi une action de G sur X² aurait-elle toujours au moins deux orbites?

par **Doraki** » 20 Sep 2010, 18:52

J'ai 2 sous-ensembles de X² stables par G :
{(x,y) avec x<>y}, et {(x,x)}

par **Nightmare** » 20 Sep 2010, 18:52

Tout simplement.

Je te remercie :happy3:

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