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kadaid
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par kadaid » 26 Sep 2022, 13:19
Bonjour,
On donne la suite (Un):
U(n+1)=(Un +2)/3 et Uo=2
1) Déterminer les quatre premiers termes.
2) Démontrer que (Un) est décroissantes.
1) Uo=2
U1=4/3
U2=5/3
U3=11/9
2) U(n+1)-Un=2/3*(1-Un) là je suis bloqué
U(n+1)/Un=(Un +2)/(3*Un) là aussi je suis bloqué.
Merci d'avance.
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phyelec
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par phyelec » 26 Sep 2022, 19:36
Bonjour,
U1 OK
U2 je pense qu'il y a une erreur de calcul
U3 OK
Pour la décroissance, étudiez la fonction f(x)= (x+2)/3
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kadaid
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par kadaid » 26 Sep 2022, 20:21
Oui, U2=10/9
f(x)= (x+2)/3=1/3*x+2/3
f est affine, coefficient directeur positif donc f croissante.
J'ai l'impression que c'est le contraire de ce que je dois démontrer.
A moins que j'oublie des choses.
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vam
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par vam » 27 Sep 2022, 10:23
Bonjour

est faux également
ensuite, attention, ce n'est pas parce que f sera croissante ou décroissante que la suite sera croissante ou décroissante
ce raisonnement est faux (ce raisonnement est à utiliser si tu as une suite du type
)
ce qui n'est pas le cas ici )
tu peux évaluer

et tu verras que le simple fait de savoir comparer

à 1te permettra de répondre
il suffit de montrer par une petite récurrence que tous les termes de ta suite sont supérieurs à 1.
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vam
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par vam » 27 Sep 2022, 12:03
une autre solution encore plus simple
tu fais une petite récurrence pour montrer directement que la suite est décroissante (en utilisant le fait que f elle est une fonction croissante)
l'hérédité est très facile
soit

alors ...les images par f ....
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kadaid
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par kadaid » 27 Sep 2022, 18:28
f croissante.
Uo=2
f(2)=4/3
f(4/3)=10/9
f(10/9)=28/27
Il semble que (Un) est décroissante.
Supposons que (Un) est décroissant au rang n, U(n+1)<=Un
f(U(n+1))<=f(Un) car f croissante
Donc U(n+2)<=U(n+1)
donc (Un) est décroissante.
(je n'ai pas tout rédigé).
Si c'est bon, je passerai au reste: (Un) est minorée comme tu l'as remarqué.
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vam
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par vam » 27 Sep 2022, 19:10
oui, tu n'oublieras pas d'initialiser ta récurrence
mais c'est bien ça
Bonne suite d'exo !
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kadaid
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par kadaid » 28 Sep 2022, 12:18
Voici la suite du sujet
Démontrer que (Un) est convergente et déterminer sa limite.
P(n): Un >=1
Uo=2 donc vrai.
Supposons que P(n) vraie au rang n
f(Un) >= f(1) car f croissante.
U(n+1)>=1, l'hérédité est démontrée.
(Un) décroissante et minorée par 1 donc (Un) est convergente.
Soit L sa limite
L=(L+2)/3
L=1
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vam
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par vam » 28 Sep 2022, 12:33
oui, car f est une fonction continue
OK.
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