Un nouveau ciel pour la suite de Collatz (Syracuse)

[malumiere]

Salut,
Après quelques années à oublier qu’il fallait que j’en dise un peu plus, j’aimerais vous partager ces découvertes que j’avais faites sur la suite de Collatz et qui changer un peu le monde de mathématique et tout ce que nous avons vu jusqu’ici.
En effet, depuis des années, j’ai assisté à des nombreuses propositions de résolution de cette fameuse conjecture. Toujours rien de nouveau et le mystère tout autour de cette conjecture n’a cessé de grandir.
Ce que je vais proposer ici va sans doute donner une autre bouffée d’air et les gens vont un peu changer d’approche et venir à la démonstration de cette conjecture comme je l’ai d’ailleurs faite.
Comme j’ai essayé de l’expliquer dans les commentaires de cette vidéo :
https://www.youtube.com/watch?v=BP2G28694z8
La conjecture de Collatz est une variante parmi une infinité des conjectures qui existent. Bien évidemment, personne n’avait soupçonné cela et tous ont tenté trouver dans la sauce les ingrédients mythiques qui composaient ce plat. Bien évidemment, tout le monde n’est pas bon cuisinier et cela nous amène toujours à pas mal de déviation.
Qu’est ce que nous voulons dire par là ? En réalité, notre approche d’antan a été de résoudre non pas la conjecture de Collatz comme tout le monde l’a fait, mais, nous avons cherché à comprendre comme nous l’avons fait dans d’autres démonstrations si ce problème n’est pas un plat tout fait et qu’il faut chercher les ingrédients qui aboutiraient au même résultat.
Aussi, nous avons abordé le problème autrement. D’abord, il fallait comprendre pourquoi ce cycle était il lié aux trois entiers 1 2 4 ? Pourquoi pas 1 5 11 ou autres entiers ? Lorsque nous analysons ce problème, nous découvrirons que 2 est la moitié de 4 ou pour être plus certains, nous allons constater que 4 est le carré de 2. Puis, s’agissant de 1, nous voyons que c’est la division de 2. Alors, nous en déduisons que si nous prenons n’importe quel entier strictement positif, il nous faut suivre cette déduction pour mettre en place un cycle trivial. Par exemple, si nous avons 3, nous n’aurons qu’à déduire son carré qui est 9 et divisé 3 par lui-même pour avoir 1. Ainsi, nous obtenons un cycle trivial qui est 1 3 9.
Il reste alors la question fondamentale qui est de trouver ce que nous avons qualifié des règles, c’est-à-dire, déduire les deux règles qui nous permettent de partir d’un entier quelconque pour atteindre 1. La première est plus simple et c’est la règle que nous formulons sur la forme n / 2 et la seconde se traduit par la forme Bn + 1.
Pour la première, nous avons constaté que n qui est un entier naturel positif quelconque était divisé par 2. Or, 2 ici est notre entier que nous avons choisi et que nous avons qualifié d’entier de base ou de variable arithmétique. Pour la simple raison qu’il nous faut à tout prix ce nombre divisé par lui-même pour atteindre 1. Dans le cas de l’entier de base 3, nous aurons également cette règle sur cette forme n / 3.
Nous avions donc pu généraliser cette règle. Poursuivons à présent avec la fameuse règle Bn + 1. Dans la suite de Collatz, le coefficient B est connu et c’est le nombre 3. Pourquoi ce nombre ? Collatz n’en avait certainement pas l’idée parce que nous pouvons appliquer une règle sans pour autant avoir connaissance des conditions requises pour la mise en place de cette dernière. Le plus souvent, nous avançons ainsi. Donc, la valeur B à côté de n dans la règle Bn + 1 est déduite pour tout coefficient B en soustrayant à chaque fois 1 au carré de l’entier de base. Puisque le carré de 2 est 4 et celui de 3 est 9, alors, le coefficient B pour les deux entiers de base sera respectivement 3 et 8. Ainsi, nous aurons pour l’entier de base 2 la règle suivante 3n + 1 et pour l’entier de base 3 la règle suivante 8n + 1.
Ainsi, nous pouvons alors émettre les deux règles que nous vérifions dans la suite de Collatz qui dit que lorsqu’un entier ne pas pair, nous le multiplions par 3 et ajoutons 1. Dans le cas de l’entier de base 3, nous dirons que si un entier n’est pas divisible par 3, nous le multiplions par 8 et nous ajoutons 1.
Ces deux cas ainsi posés sont en effet admis dans un outil que nous avons mis en place et que nous avons qualifié de « Moulin de Surielle ». le moulin de Surielle est un outil qui permet d’établir pour n’importe quel entier strictement positif, un cycle trivial et les règles qui permettent de vérifier que tout entier soumis à la suite du Moulin de Surielle et de n'importe quel entier strictement positif atteint 1. Le cas de la suite de Collatz comme nous l’avons dit étant juste qu’un cas parmi des infinités. Ainsi, nous pouvons donc avoir des suites comme ceci :
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est pair, vous le divisez par 2, soit n / 2 ;
- S’il est impair, vous le multipliez par 3 et vous ajoutez 1, soit 3n + 1.
Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous répétez la procédure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence de nombres.
Ainsi, si nous prenons par exemple le nombre 23, nous obtiendrons cette séquence de nombre : 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Deuxième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 13, vous le divisez par 13, soit n / 13 ;
- S’il est impair et non divisible par 13, vous le multipliez par 168 et vous ajoutez 1, soit 168n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 168 et vous ajoutez 1, soit 168n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 13 169.

Troisième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 7, vous le divisez par 7, soit n / 7 ;
- S’il est impair et non divisible par 7, vous le multipliez par 48 et vous ajoutez 1, soit 48n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 48 et vous ajoutez 1, soit 48n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 7 49.
Quatrième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 131, vous le divisez par 131, soit n / 131 ;
- S’il est impair et non divisible par 131, vous le multipliez par 17160 et vous ajoutez 1, soit 17160n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 131 et vous ajoutez 1, soit 17160n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 131 17161.

Cinquième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 11, vous le divisez par 11, soit n / 11 ;
- S’il est impair et non divisible par 11, vous le multipliez par 120 et vous ajoutez 1, soit 120n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 120 et vous ajoutez 1, soit 120n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 11 121.

Sixième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 3, vous le divisez par 3, soit n / 3 ;
- S’il est impair et non divisible par 3, vous le multipliez par 8 et vous ajoutez 1, soit 8n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 8 et vous ajoutez 1, soit 8n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 3 9.

Septième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est pair et divisible par 16, vous le divisez par 16, soit n / 16 ;
- S’il est pair et non divisible par 16, vous le multipliez par 255 et vous ajoutez 1, soit 255n + 1.
- S’il est impair, vous le multipliez par 255 et vous ajoutez 1, soit 255n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 16 256.
Cette dernière pour ceux qui ne sont pas curieux est un cycle trivial interne et de niveau 2. Dans ce document, vous découvrirez la différence qui existe avec les cycles triviaux de base ou cycle trivial primaire et les cycles triviaux internes à un cycle de base.
Comme nous l’avons dit, vous pouvez en avoir une infinité des suites et croyez-le, cela fait plus de 5 ans que je me plais avec l’outil AlgoBOX à tester ces cycles, vous serez étonné que j’en ai assez. Je me suis plu de voir sur le net s’il y’avait des cycles triviaux comme ceci. Je n’en ai pas vu et quand je vois déjà le coefficient B, je sais déjà que ceci ne nous mènera pas à grand-chose.
Alors, dans l’histoire de cette Conjecture plusieurs généralisation ont été faite notamment celle de la règle 5n + 1. Non, ce n’est malheureusement pas une généralisation d’un cycle venu du moulin de Surielle. Et d’autres cycles triviaux également n’ont fait que nous écarter du problème. Il est très facile de reconnaître un coefficient B en rajoutant à ce coefficient la valeur 1, vous devez obligatoirement avoir un carré parfait dont la racine vous donnera un entier de base. Ce n’est malheureusement pas le cas. Cette vérification valide également les autres règles que nous avons et qui permettent de montrer certains cycles triviaux.
Donc, pour revenir, résoudre le problème de Collatz ne doit pas passer par le cycle triviaux 1 2 4, car d’autres cycles nous ramèneraient à redéfinir à chaque fois. La conjecture de Collatz ne peut revenir que si elle est démontrée à partir du moulin de Surielle. Pour cela, ce n’est pas ici que nous allons le faire. On vient juste de me conseiller de publier dans des forums puisqu’au finish, j’en ai parlé sur youtube dans les commentaires de la chaine dont le lien est tout en haut.
J’ai même donné plus et vous pouvez aller vérifier et vous verrez mes commentaires sur le nom que je vais laisser en bas. J’espère que les mathématiques pourront dormir autrement à partir de maintenant. Je termine en disant que vous devez considérer cette conjecture à sa juste valeur car c’est certainement la conjecture la plus importante de toute. Nous n’avons aucune idée du trésor qui est cachée dans cette dernière, mais, vraiment aucune idée. Je me suis posé la question de savoir comment se fait-il que les grands mathématiciens n’ont rien vu dans cette conjecture. Très étonnant je vous assure.

Fortuné Alain Junior BACKOULAS

[Saiga]

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Sixième verre
Prenez un nombre entier positif, et appliquez-lui le traitement suivant :
- S’il est impair et divisible par 3, vous le divisez par 3, soit n / 3 ;
- S’il est impair et non divisible par 3, vous le multipliez par 8 et vous ajoutez 1, soit 8n + 1.
- S’il est pair, vous le multipliez par 8 et vous ajoutez 1, soit 8n + 1.
Ainsi, quel qu’il soit le nombre que vous allez choisir, vous tomberez toujours sur 1 et dans un cycle trivial de 1 3 9.

4 -> 33 -> 11
A partir de 11, on n'a plus que des entiers de la forme 6k + 5, donc cela donne une suite divergente et on ne retombe jamais sur 1...